(x + 3)/(x ^ 2 - 4x + 4)

Задача: (x + 3)/(x^2 - 4x + 4)

Пошаговое решение и объяснения

1. Упростим знаменатель

• x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2.
• Значит, выражение перепишется как (x + 3)/(x - 2)^2.

2. Проверка на сокращение

• Корни числителя: x = -3.
• Корень знаменателя: x = 2.
• Так как общих множителей нет (x+3 не делится на (x-2)), сокращения не происходит. Формально дробь уже в несократимом виде.

3. Домен

• Поскольку знаменатель не должен быть равен нулю, x ≠ 2.

4. Разложение на частные дроби (для дополнительной наглядности) Пусть (x + 3)/(x - 2)^2 = A/(x - 2) + B/(x - 2)^2. Умножим обе части на (x - 2)^2: x + 3 = A(x - 2) + B = Ax - 2A + B. Сравнивая коэффициенты:

• Коэффициент при x: 1 = A ⇒ A = 1.
• Свободный член: 3 = -2A + B = -2(1) + B ⇒ B = 5.

Итак, (x + 3)/(x - 2)^2 = 1/(x - 2) + 5/(x - 2)^2, при x ≠ 2.

5. Поведение функции

• Вертикальная асимптота: x = 2 (потому что знаменатель → 0, числитель ≈ 5). Поскольку (x - 2)^2 > 0 рядом с 2, выражение стремится к +∞ с обеих сторон.
• Горизонтальная асимптота: y = 0. При больших по модулю x числитель ~ x, знаменатель ~ x^2, следовательно f(x) ~ 1/x → 0.

6. Пример вычисления

• Пусть x = 0: f(0) = (0 + 3)/(0^2 - 0 + 4) = 3/4 = 0.75.
• По упрощённой форме: f(0) = 1/(0 - 2) + 5/(0 - 2)^2 = -1/2 + 5/4 = -0.5 + 1.25 = 0.75, совпадает.

Итог

• Основная форма: (x + 3)/(x^2 - 4x + 4) = (x + 3)/(x - 2)^2, с доменом x ≠ 2.
• Дополнительно можно записать разложение на частные дроби: 1/(x - 2) + 5/(x - 2)^2.