Реши

Ниже полный разбор задач по условной вероятности с пошаговыми объяснениями. Мы используем формулу P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) и разъясняем каждый случай. Коротко о формуле - P(A|B) — вероятность события A при условии, что произошло событие B. - Нужно посчитать вероятности пересечения A ∩ B и самого B, затем разделить. Задачи 101–104 (по рисунку) 101. При двукратном бросании монеты дано: в первом броске выпала решка (то есть событие B: первый бросок — орёл? Нет — решка). Найдите: - a) вероятность того, что оба раза выпал орёл (A: оба орла). - b) вероятность того, что выпал хотя бы один орёл (A: хотя бы один орёл). - c) вероятность того, что выпали два орла (как и пункт a, но повторение). Решение: - Условие B: первый бросок — решка. Значит во втором броске орёл/решка не зависит от первого, но событие A должно учитывать первый бросок. - Возможны только две последовательности с учетом условия B: (R, O) и (R, R), где R — решка, O — орёл. Но для "оба орла" (O, O) невозможно, потому что первый бросок уже решка. - a) A: оба орла. Под условием B невозможно. P(A|B) = 0. - b) A: хотя бы один орёл. Единственный путь: второй бросок — орёл. Вероятность второго броска орёл при условии первого — решка равна 1/2. Значит P(A|B) = 1/2. - c) та же ситуация, что и a): P(A|B) = 0. Ответы: a) 0; b) 1/2; c) 0. 102. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8. Найдите условные вероятности: - а) чтобы в первом броске выпало 3 очка (A: первый бросок = 3); - б) чтобы один из бросков дал 3 очка (A: есть хотя бы один 3); - в) чтобы в первом броске выпало меньше 5 очков (A: первый бросок < 5). Условие B: сумма равна 8. График значений для суммы 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Всего 5 благоприятных исходов. P(B) = 5/36. - а) A: первый бросок = 3. Входят только исходы (3,5). Количество исходов = 1. P(A ∩ B) = 1/36. Тогда P(A|B) = (1/36) / (5/36) = 1/5. - б) A: есть хотя бы один 3. Входят (3,5) и (5,3) — 2 исхода. P(A ∩ B) = 2/36. Значит P(A|B) = (2/36) / (5/36) = 2/5. - в) A: первый бросок < 5. Входят (2,6), (3,5), (4,4) — всего 3 исхода. P(A ∩ B) = 3/36. Значит P(A|B) = (3/36) / (5/36) = 3/5. Ответы: а) 1/5; б) 2/5; в) 3/5. 103. При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9. Найдите условные вероятности: - а) в первый раз выпал 5 очков (A: первый = 5); - б) при одном из бросков выпал 4 очка (A: есть хотя бы один 4); - в) во втором броске выпал меньше чем 3 очков (A: второй < 3). Условие B: сумма равна 9. Все пары, дающие сумму 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). Всего 4 исхода. P(B) = 4/36. - а) A ∩ B: только исход (5,4). Так что P(A ∩ B) = 1/36. P(A|B) = (1/36) / (4/36) = 1/4. - б) A: хотя бы один 4. Входят (4,5) и (5,4) — 2 исхода. P(A ∩ B) = 2/36. Значит P(A|B) = (2/36) / (4/36) = 2/4 = 1/2. - в) A: второй бросок < 3, т.е. второй = 1 или 2. Ни одна пара из перечисленных не имеет второго броска 1 или 2 (для суммы 9 вторые значения 6 и 4 и т.д.). В нашем списке: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — второй равен 6,5,4,3. Ни один<3. Поэтому P(A|B) = 0. Ответы: а) 1/4; б) 1/2; в) 0. 104. Играя костью, бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется: - а) равна 9; - b) больше чем 7; - c) больше чем 10; - d) меньше чем 5. Условие: первый бросок уже дан как 3. Второй бросок независим и равновероятен на все значения 1–6. Пусть второй бросок обозначим X ∼ Uniform{1,2,3,4,5,6}. Сумма S = 3 + X. - а) S = 9 → X = 6. Вероятность P(X = 6) = 1/6. - б) S > 7 → 3 + X > 7 → X > 4 → X ∈ {5,6}. Вероятность P(X ∈ {5,6}) = 2/6 = 1/3. - в) S > 10 → 3 + X > 10 → X > 7. Нельзя, так как X ≤ 6. Вероятность 0. - г) S < 5 → 3 + X < 5 → X < 2 → X = 1. Вероятность P(X = 1) = 1/6. Ответы: а) 1/6; б) 1/3; в) 0; д) 1/6. Если хочешь, могу привести альтернативные подходы (таблички, краткие решения в виде таблиц) или адаптировать объяснение под твой класс и учебник. Также могу разобрать любую из задач подробнее по шагам с графами событий.