Биссектриса угла A паралоелограмм ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр этого паралоелограмм, если BK=15см,KC=9см
Задача: параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает BC в точке K. BK = 15 см, KC = 9 см. Найти периметр.
Пошаговое решение:
Сначала найдём сторону BC. В параллелограмме BC равна AD, и BC = BK + KC = 15 см + 9 см = 24 см. Значит AD = BC = 24 см.
Обозначим AB за открытое значение x (длину AB нужно найти). Тогда периметр P параллелограмма равен P = 2(AB + BC) = 2(x + 24).
Чтобы AK была биссекторой угла A параллелограммы, она должна быть бисекторой угла между векторами AB и AD. Будем пользоваться координатной постановкой:
- Пусть A = (0,0), B = (x, 0). Вектор AD имеет длину 24 и задаётся как D = (p, q) с √(p^2 + q^2) = 24. Тогда C = B + D = (x + p, q).
- Точка K лежит на BC и BK:KC = 15:9 = 5:3, поэтому параметр т = BK/BC = 15/24 = 5/8. Тогда K = B + т(C − B) = (x, 0) + (5/8)(p, q) = (x + (5/8)p, (5/8)q).
Направление AK должно быть параллельно вектору, который является суммой единичных векторов вдоль AB и AD (это характерно для бисектрисы). Единичные вектора AB/|AB| и AD/|AD| равны:
- AB/|AB| = (1, 0) (поскольку AB направлен вдоль оси x и |AB| = x),
- AD/|AD| = (p/24, q/24) (потому что |AD| = 24).
Следовательно направление бисектора задано вектором w = (1 + p/24, q/24). Точка K должна лежать на прямой, параллельной w, то есть векторы AK и w коллинеарны: AK = (x + (5/8)p, (5/8)q) ∥ w = (1 + p/24, q/24).
Так как q ≠ 0 (иначе AD параллелен AB и параллелограмм вырождается), по второму компоненте получаем отношение: (5/8)q = λ (q/24) => λ = (5/8) · 24 = 15.
По первому компоненту: x + (5/8)p = λ(1 + p/24) = 15(1 + p/24) = 15 + (15p)/24 = 15 + (5p)/8.
Слева стоит x + (5/8)p, справа 15 + (5/8)p. Сокращая одинаковые члены, получаем: x = 15.
Значит AB = 15 см, BC = 24 см. Периметр: P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 78 см.
Ответ: 78 см.
