Сделай таблицу для вероятности статистики
Ниже приведена полезная таблица основных распределений вероятностей, которая часто используется в статистике. Указаны тип распределения, поддержка, формулы вероятностей (PMF/PDF), математическое ожидание и дисперсия, а также краткие примечания.
Таблица распределений
| Распределение | Тип | Поддержка | PMF/PDF (кратко) | E[X] | Var[X] | Примечания |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bernoulli(p) | Дискретное | {0, 1} | P(X=1)=p, P(X=0)=1-p | p | p(1-p) | Простое бинарное испытание. |
| Binomial(n, p) | Дискретное | {0, 1, ..., n} | P(X=k)=C(n,k) p^k (1-p)^{n-k} | np | np(1-p) | Число успехов в n независимых испытаниях. |
| Geometric(p) (до первого успеха) | Дискретное | {1, 2, ...} | P(X=k)=(1-p)^{k-1} p | 1/p | (1-p)/p^2 | Вариант, где X — количество испытаний до первого успеха. |
| Negative Binomial(r, p) | Дискретное | {r, r+1, ...} | P(X=k)=C(k-1, r-1) p^r (1-p)^{k-r} | r/p | r(1-p)/p^2 | До достижения r успехов. |
| Poisson(λ) | Дискретное | {0, 1, 2, ...} | P(X=k)=e^{-λ} λ^k / k! | λ | λ | Часто моделирует редкие независимые события в фиксированном интервале. |
| Hypergeometric(N, K, n) | Дискретное | {max(0,n-K) .. min(n,K)} | P(X=k)= [C(K,k) C(N-K, n-k)] / C(N,n) | n(K/N) | n (K/N) (1 - K/N) (N-n)/(N-1) | Без замены; популяционная дисперсия скорректирована. |
| Uniform(a, b) (непрерывное) | Непрерывное | [a, b] | PDF f(x)=1/(b-a) на [a,b] | (a+b)/2 | (b-a)^2/12 | Равномерное распределение на отрезке. |
| Normal(μ, σ^2) | Непрерывное | (-∞, ∞) | PDF: (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) | μ | σ^2 | Классическое распределение, 68-95-99.7 правило. |
| Exponential(λ) | Непрерывное | [0, ∞) | PDF: λ e^{-λ x}, x≥0 | 1/λ | 1/λ^2 | Время между событиями в потоке независимых событий. |
| Gamma(α, θ) (форма α, масштаб θ) | Непрерывное | [0, ∞) | PDF: x^{α-1} e^{-x/θ} / (Γ(α) θ^α) | α θ | α θ^2 | Обобщение экспоненциального; для α=1 возвращается экспоненциальное. |
| Beta(a, b) | Непрерывное | [0, 1] | PDF: x^{a-1} (1-x)^{b-1} / B(a,b) | a/(a+b) | ab / [(a+b)^2 (a+b+1)] | Используется для вероятностных моделей непрерывных долей. |
Как пользоваться таблицей
- Определите тип переменной в задаче: дискретная или непрерывная.
- Определите параметры распределения из условия задачи (например, n и p для Binomial, λ для Poisson, μ и σ для Normal и т.д.).
- Найдите соответствующую строку в таблице, чтобы быстро подставить E[X] и Var[X], а также понять форму PMF/PDF.
- Для вероятностей: используйте PMF/PDF напрямую или найдите CDF, если нужно P(X ≤ к) или P(X ≥ к).
- Приведенная LOT: для приближений часто применяют Poisson как аппроксимацию Binomial при n большое и p маленький (λ = np); нормальное приближение применяют для сумм и длительных выборок.
Пример решения (по шагам)
Задача: Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность получить ровно 3 орла.
- Тип переменной: дискретная; это Binomial(n=10, p=0.5).
- Формула вероятности: P(X=k)=C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}.
- Подстановка: P(X=3)=C(10,3) (0.5)^3 (0.5)^7 = 120 / 1024 ≈ 0.1172.
- Ответ: P(X=3) ≈ 0.117.
Дополнительный пример (для понимания ожидания и дисперсии)
Задача: В течение недели каждый день идёт дождь с вероятностью 0.2, независимо. Найдите ожидаемое число дождливых дней и дисперсию за неделю (7 дней).
- Тип: дискретное, Binomial(n=7, p=0.2).
- E[X] = np = 7 * 0.2 = 1.4.
- Var[X] = np(1-p) = 7 * 0.2 * 0.8 = 1.12.
- Ответ: ожидаемо 1.4 дождливых дня; дисперсия 1.12.
Если под задачу не указаны предмет и класс, этот набор распределений трактуйте как базовую «памятку» по вероятностям для средней школы и начального уровня колледжа. При необходимости можно выбрать более специфическое распределение в зависимости от условий задачи. Хотите, чтобы я подобрал конкретную задачу и решил её по этой таблице?
