12x²+7x+1=0

Цель: Понять

Задача: решить уравнение 12x^2 + 7x + 1 = 0.

Пошаговое решение

1. Привести уравнение к виду ax^2 + bx + c = 0

• Здесь a = 12, b = 7, c = 1.

2. Способ 1: факторизация через разложение среднего члена

• Нужно найти такие два числа p и q, чтобы p·q = a·c = 12 и p + q = b = 7.
• Подходящие числа: p = 3, q = 4 (3·4 = 12 и 3 + 4 = 7).
• Перепишем средний член: 12x^2 + 3x + 4x + 1 = 0.
• Далее поочередно группируем:
  • 12x^2 + 3x = 3x(4x + 1)
  • 4x + 1 = 1(4x + 1)
  • Итог: (4x + 1)(3x + 1) = 0.
• Значит, либо 4x + 1 = 0, либо 3x + 1 = 0.
• Решения: x = -1/4 или x = -1/3.

3. Способ 2: квадратная формула (для проверки)

• Вычислим дискриминант: Δ = b^2 − 4ac = 7^2 − 4·12·1 = 49 − 48 = 1.
• Корни: x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a) = (-7 ± 1) / 24.
• Получаем x1 = (-7 + 1)/24 = -6/24 = -1/4 и x2 = (-7 − 1)/24 = -8/24 = -1/3.

Ответ: x ∈ { -1/4, -1/3 }.

Проверка (можно быстро проверить подстановкой):

• При x = -1/4: 12(1/16) − 7/4 + 1 = 12/16 − 7/4 + 1 = 3/4 − 7/4 + 1 = (-4/4) + 1 = 0.
• При x = -1/3: 12(1/9) − 7/3 + 1 = 4/3 − 7/3 + 1 = (-3/3) + 1 = 0.

Если хочешь, могу привести аналогичные примеры с разными методами или объяснить, как быстро определить разложения при подобных коэффициентах.