F(x) =3 cos x-4sin x-7

Цель: понять и подробно разобрать выражение f(x) = 3 cos x − 4 sin x − 7. Пошаговое решение 1) Приведение суммы синуса и косинуса к одному косинусу - Часть без константы: 3 cos x − 4 sin x можно записать как Amplitude * cos( x + α ). - Найдём α так, чтобы 5 cos(x + α) раскрылось в 3 cos x − 4 sin x. Пусть α удовлетворяет: - cos α = 3/5 - sin α = 4/5 Тогда 5 cos(x + α) = 5[cos x cos α − sin x sin α] = 5[(3/5) cos x − (4/5) sin x] = 3 cos x − 4 sin x. Значит Amplitude R = 5 и α можно взять как α = arctan(4/3) ≈ 0.9273 rad (потому что tan α = sin α / cos α = (4/5)/(3/5) = 4/3). Все эти значения совместимы: α в первом квадранте, cos α = 3/5, sin α = 4/5. Итого: 3 cos x − 4 sin x = 5 cos(x + α), где α = arctan(4/3) ≈ 0.9273. 2) Полное представление функции f(x) = 3 cos x − 4 sin x − 7 = 5 cos(x + α) − 7, где α ≈ 0.9273 рад. 3) Оценка диапазона (хорошо для понимания графика) - Поскольку косинус лежит в [-1, 1], 5 cos(x + α) лежит в [-5, 5]. - Значит f(x) лежит в диапазоне [-5 − 7, 5 − 7] = [-12, -2]. Вывод: график f(x) — гармоническая волна с периодом 2π и вертикальной тягой -7, амплитудой 5; она лежит ниже нуля и не пересекает ось x. 4) Точки экстремума (максимум и минимум) - Максимум достигается, когда cos(x + α) = 1: x + α = 2kπ ⇒ x = −α + 2kπ. Пример: первый максимум при k = 0: x ≈ −0.9273. Значение f(x) в максимумe: f_max = 5·1 − 7 = −2. -Минимум достигается, когда cos(x + α) = −1: x + α = π + 2kπ ⇒ x = π − α + 2kπ. Пример: первый минимум при k = 0: x ≈ 3.1416 − 0.9273 ≈ 2.2143. Значение f(x) в минимумe: f_min = 5·(−1) − 7 = −12. 5) Прямые выводы - Корней уравнения f(x) = 0 нет, потому что максимум f(x) равен −2 и он меньше нуля. - Период функции: 2π, т.к. это композиция по x с косинусом. - Можно записать альтернативно: f(x) = 5 cos(x + α) − 7, α = arctan(4/3). Если нужно, могу привести пример графика или решить дополнительные задачи типа нахождения конкретных значений f(x) или решения уравнений вида f(x) = c.