Найдите точку максимума функции y=10ln(x-2)-10x+11.

Задача: Найдите точку максимума функции y = 10 ln(x−2) − 10x + 11.

Пояснение и решение (для общего школьного уровня, т.к. предмет/класс не указаны):

• Домен: нужно, чтобы x−2 > 0, то есть x > 2.
• Выпишем производную: y' = d/dx [10 ln(x−2) − 10x + 11] = 10/(x−2) − 10.
• Найдем критические точки, при которых y' = 0: 10/(x−2) − 10 = 0 ⇒ 10/(x−2) = 10 ⇒ 1/(x−2) = 1 ⇒ x − 2 = 1 ⇒ x = 3.
• Проверим знак второй производной: y'' = d/dx [10/(x−2) − 10] = −10/(x−2)^2 < 0 для любого x > 2. Значит, в этой точке функция достигает максимума (функция в целом в области x>2 вогнутая).
• Значение функции в точке x = 3: y(3) = 10 ln(3−2) − 10·3 + 11 = 10 ln(1) − 30 + 11 = 0 − 30 + 11 = −19.

Ответ:

• Точка максимума: x = 3, y = −19.
• То есть максимальная величина функции на области x > 2 достигается в (3, −19). Это глобальный максимум на заданной области, поскольку y'' < 0 на всём domain.