y = x2 +3

Задача: y = x^2 + 3 (то есть y = x^2 + 3, где x^2 означает квадрат x).

Ключевые моменты

• Это простая квадратичная функция, график — парабола.
• Позиция параболы: сдвинута вверх на 3 единицы по сравнению с базовой функцией y = x^2.
• Вершина параболы: (0, 3).
• Ось симметрии: x = 0 (ось y).
• Домен: все вещественные числа. Область значений: y ≥ 3.

Пошаговое разбор

1. Преобразование к вершинной форме

• Функцию можно записать как y = (x - h)^2 + k с h = 0 и k = 3.
• Значит, вершина параболы находится в точке (h, k) = (0, 3).

2. Что это значит на графике

• Парабола открывается вверх (коефициент перед x^2 положительный).
• Поскольку вершина в (0, 3), точка минимального значения — y = 3, при x = 0.
• График симметричен относительно оси y (x = 0).

3. Таблица значений (несколько примеров)

• x = -3 → y = (-3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12
• x = -2 → y = 4 + 3 = 7
• x = -1 → y = 1 + 3 = 4
• x = 0 → y = 0 + 3 = 3
• x = 1 → y = 1 + 3 = 4
• x = 2 → y = 4 + 3 = 7
• x = 3 → y = 9 + 3 = 12

4. Пересечения с осями

• y-перехват: при x = 0, y = 3 → точка пересечения с осью y: (0, 3).
• x-пересечения отсутствуют, потому что минимальное значение y равно 3, а горизонтальная ось y = 0 лежит ниже.

5. Как найти x по заданному y (обратная проблема)

• Уравнение y = x^2 + 3. Решаем относительно x: x^2 = y − 3.
• Тогда x = ± sqrt(y − 3).
• Требование: y − 3 ≥ 0, то есть y ≥ 3.
• Пример: если y = 11, то x = ± sqrt(11 − 3) = ± sqrt(8) = ± 2√2.

6. Приложения и сравнения

• Вектор трансформаций: базовая функция y = x^2 сдвигается вверх на 3 единицы.
• Сравнение с y = x^2 − 3: там вершина была бы в (0, −3) и ограничение другое.

Примеры задач для практики

• Найти y при x = 5: y = 5^2 + 3 = 25 + 3 = 28.
• Найти x, если y = 19: x^2 + 3 = 19 → x^2 = 16 → x = ±4.
• Определить диапазон значений функции: y ≥ 3 (потому что минимальное x^2 равно 0, когда x = 0).

Если хочешь, могу привести больше примеров или помочь нарисовать график параболы и отметить вершину и ось симметрии. Также скажи, требуется ли адаптация под конкретный класс или предмет.