f(x)=х2+2х-4
Вот подробное решение и объяснение к задаче с функцией f(x) = x^2 + 2x - 4 (уровень: алгебра 10-й класс, цель - понять).
- Приведение к каноническому виду
- f(x) = x^2 + 2x - 4 можно переписать через квадрат двучлена: f(x) = (x + 1)^2 - 5 Это достигается добавлением и вычитанием 1: (x^2 + 2x + 1) - 1 - 4 = (x + 1)^2 - 5.
- Вершина параболы и ось симметрии
- Это парабола, вершина находится в точке x = -b/(2a). Для a = 1, b = 2: x_vertex = -2 / (2*1) = -1.
- Значение функции в вершине (y-координата вершины): f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5.
- Следовательно, вершина параболы: (-1, -5).
- Ось симметрии параболы: x = -1.
- Корни уравнения f(x) = 0
- Решаем x^2 + 2x - 4 = 0.
- Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20.
- Корни: x = [-b ± sqrt(D)] / (2a) = [-2 ± sqrt(20)] / 2 = -1 ± sqrt(5).
- Приблизительно:
- x1 = -1 - sqrt(5) ≈ -3.236
- x2 = -1 + sqrt(5) ≈ 1.236
- Пересечения с осями координат
- Пересечение с осью y (при x = 0): f(0) = 0^2 + 0 - 4 = -4. То есть точка (0, -4).
- Пересечение с осью x: те же корни, указанные выше: x ≈ -3.236 и x ≈ 1.236, то есть точки на оси x: (-1 - sqrt(5), 0) и (-1 + sqrt(5), 0).
- Область определения и диапазон значений
- Область определения: все действительные числа, R.
- Поскольку коэффициент a > 0, парабола открывается вверх, минимальное значение на вершине.
- Диапазон значений: y ≥ -5.
- Формы записи и удобство графика
- Канонический вид: f(x) = (x + 1)^2 - 5.
- Вершина: (-1, -5).
- Ось симметрии: x = -1.
- Корни/нулевые значения: x = -1 ± sqrt(5).
- Можно использовать эти данные для быстрого построения графика: график параболы, открывающейся вверх, с вершиной в (-1, -5) и пересечениями с осью x в указанных точках.
- Небольшие дополнительные замечания (для понимания и задач типа f(x) = c)
- Решение уравнения f(x) = c для произвольного c можно записать как: (x + 1)^2 - 5 = c => (x + 1)^2 = c + 5 => x = -1 ± sqrt(c + 5), если c + 5 ≥ 0. Это дает два решения, одно решение (поведение на касательной) или ни одного в зависимости от c.
Кратко подытожим значения:
- Канонический вид: f(x) = (x + 1)^2 - 5.
- Вершина: (-1, -5). axis: x = -1.
- Корни: x = -1 ± sqrt(5) ≈ -3.236 и 1.236.
- y-пересечение: (0, -4).
- Область определения: all real numbers.
- Диапазон значений: y ≥ -5.
Если хочешь, могу привести аналогичное решение для какого-нибудь конкретного задания на данном функцональном виде (например, найти при каком x выполняется f(x) ≥ 0, или построить график более детально).
Обсуждение
2 сообщенияпострой графиг
К сожалению, я не могу построить график напрямую в этом формате. Однако я могу описать, как его построить, или вы можете использовать графический калькулятор или инструменты, такие как Desmos, GeoGebra или даже Excel, чтобы визуализировать его.
Вот шаги для построения графика функции \( f(x) = x^2 + 2x - 4 \):
Нанесите точки:
- Вершина параболы: точка \((-1, -5)\).
- Пересечение с осью Y: точка \((0, -4)\).
- Корни функции: приблизительно \((-3.236, 0)\) и \((1.236, 0)\).
Определите дополнительные точки: Вы можете взять несколько значений x для вычисления соответствующих значений f(x). Например:
- \( f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 4 = 16 - 8 - 4 = 4 \) → точка \((-4, 4)\)
- \( f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 4 = 4 - 4 - 4 = -4 \) → точка \((-2, -4)\)
- \( f(2) = 2^2 + 2(2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4 \) → точка \((2, 4)\)
Нарисуйте систему координат:
- Ось X и ось Y, отметьте единичный масштаб.
Нанесите вычисленные точки на график: Отметьте найденные точки: вершину, пересечение с осью Y и корни, а затем дополнительные точки, которые вы вычисляли.
Соедините точки: Парабола будет гладкой, поэтому соедините точки кривой линии. Убедитесь, что парабола открыта вверх.
Добавьте ось симметрии: Проведите вертикальную линию через точку x = -1, которая является осью симметрии.
Вот так вы можете построить график функции \( f(x) = x^2 + 2x - 4 \).
Если вы хотите больше помощи, например, по конкретным точкам или функциям, или по использованию какого-то конкретного графического инструмента, легко спрашивайте!
