х³-14х²+49х+3 найти наименьшее значение функции

Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = x^3 - 14x^2 + 49x + 3 \), давайте проведем необходимые шаги.

1. Находим производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 28x + 49 \]

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 - 28x + 49 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 \] Теперь найдём корни: \[ x = \frac{28 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 14}{6} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{42}{6} = 7, \quad x_2 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

3. Определим тип критических точек с помощью второй производной: \[ f''(x) = 6x - 28 \] Находим \( f''(x) \) в критических точках:

   • В точке \( x = 7 \): \[ f''(7) = 6 \cdot 7 - 28 = 42 - 28 = 14 > 0 \quad (\text{локальный минимум}) \]
   • В точке \( x = \frac{7}{3} \): \[ f''\left(\frac{7}{3}\right) = 6 \cdot \frac{7}{3} - 28 = 14 - 28 = -14 < 0 \quad (\text{локальный максимум}) \]

4. Находим значения функции в критических точках:

   • Для \( x = 7 \): \[ f(7) = 7^3 - 14 \cdot 7^2 + 49 \cdot 7 + 3 = 343 - 686 + 343 + 3 = 3 \]
   • Для \( x = \frac{7}{3} \): \[ f\left(\frac{7}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}\right)^3 - 14 \left(\frac{7}{3}\right)^2 + 49 \left(\frac{7}{3}\right) + 3 \] \[ = \frac{343}{27} - 14 \cdot \frac{49}{9} + \frac{343}{3} + 3 \] \[ = \frac{343}{27} - \frac{686}{9} + \frac{1029}{27} + \frac{81}{27} \] \[ = \frac{343 + 1029 + 81}{27} - \frac{686 \cdot 3}{27} \] \[ = \frac{1453 - 2058}{27} = \frac{-605}{27} \approx -22.41 \]

5. Итоги:

   • Локальный максимум функции достигается в точке \( x = \frac{7}{3} \) и равен примерно \(-22.41\).
   • Локальный минимум при \( x = 7 \) равен 3.

Ответ:

Наибольшее значение функции \( f(x) \) в её критических точках равно 3 и достигается в точке \( x = 7 \).