Геометрия 8 класс

Задача кратко: в параллелограмме ABCD точка E лежит на стороне BC так, что AE и DE являются биссекторами углов BAD и CDA соответственно. Дано CD = 5. Найти периметр P_ABCD.

Обозначения:

• AB = a, CD = a (противоположные стороны параллелограмма равны). Из условия дано CD = 5, значит a = 5.
• AD = BC = b — оставшаяся пара длин.
• E лежит на BC так, что AE — биссектор угла BAD, и DE — биссектор угла CDA.

Решение без убирания общности делаем через разложения по двум независимым векторам AB и AD.

1. Пусть AE выражается через AB и AD как AE = AB + t·AD, где t — отношение along AD до точки E на BC. Аналогично DE = AB + (t − 1)·AD.

2. С учетом того, что AE — биссектора угла BAD, направление AE должно быть параллельно сумме единичных векторов вдоль AB и AD: AB/|AB| + AD/|AD|. В нашей основе это эквивалентно виду, что коэффициенты при AB и при AD в представлении AE должны быть пропорциональны 1 и 1. В результате получаем:

   • коэффициент при AB равен a,
   • коэффициент при AD равен t·b, и они должны быть равны по величине (после нормировки), что даёт т = a / b.

3. Аналогично, DE должна быть параллельна векторной сумме AB/|AB| − AD/|AD| (биссектор угла CDA). В представлении DE = AB + (t − 1)AD коэффициент при AB равен a, а коэффициент при AD равен −(t − 1)·b. Это даёт:

   • t − 1 = − a / b, то есть t = 1 − a/b.

4. Соединяя две полученные зависимости для t:

   • t = a/b и t = 1 − a/b дают a/b = 1 − a/b. Отсюда 2a/b = 1, следовательно b = 2a.

5. Подставим a = 5: b = 10. Значит AB = 5, AD = 10, BC = 10, CD = 5.

6. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(5 + 10) = 30.

Ответ: периметр ABCD равен 30. Также можно заметить, что E является серединой BC (t = a/b = 1/2).