Задача по геометрии 8 класс

Задача основана на следующем чтении рисунка: - ABCD — параллелограмм. - CD = 5 (значит AB = 5, противоположные стороны равны). - AE — биссектриса угла BAD (на рисунке красной пометкой показано деление угла A). - DE — биссектриса угла CDA (на рисунке зелёной пометкой показано деление угла D). - E лежит на стороне BC. Нужно найти периметр P_ABCD. Решение (раскрыто по шагам): 1) Координатная постановка - Пусть A = (0, 0), D = (d, 0) — сторона AD лежит по оси x. - Вектор AB = (p, q) так, что длина AB равна 5: p^2 + q^2 = 25. - Тогда B = (p, q), C = (p + d, q). - Так как E лежит на BC, можно записать E как E = (p + t d, q) для некоторого t ∈ [0, 1]. 2) Условие, что AE — биссектриса угла BAD - Вектор BAD образуют AB = (p, q) и AD = (d, 0). - Единичные векторы вдоль этих сторон: (p, q)/5 и (d, 0)/d = (1, 0). - Направление бисектрисы равно сумме этих единичных векторов: (p/5 + 1, q/5). - PSL. AE имеет направление (p + t d, q). Эти два направления должны быть параллельны: существование коэффициента λ: (p + t d, q) = λ (p/5 + 1, q/5). - По координате y: q = λ (q/5) => λ = 5. - По координате x: p + t d = 5(p/5 + 1) = p + 5 → t d = 5 → t = 5/d. Имеем E на BC с координатами x_E = p + 5, то есть 0 ≤ t ≤ 1 требует d ≥ 5. 3) Условие, что DE — биссектриса угла CDA - Вектор DC = C − D = (p + d, q) − (d, 0) = (p, q) и DA = A − D = (0, 0) − (d, 0) = (−d, 0). - Единичные векторы вдоль этих сторон: DC/|DC| = (p, q)/5 и DA/|DA| = (−1, 0). - Направление бисектрисы в точке D есть сумма этих единичных векторов: (p/5 − 1, q/5). - Вектор DE = E − D = (p + t d − d, q) = (p + (t − 1)d, q). - Подставим t = 5/d: DE = (p + 5 − d, q). - Эти направления должны быть параллельны: (p + 5 − d, q) = μ (p/5 − 1, q/5). - По y: q = μ (q/5) => μ = 5. - По x: p + 5 − d = 5(p/5 − 1) = p − 5 → 5 − d = −5 → d = 10. 4) Периметр - AD = d = 10, BC = AD = 10. - AB = 5 (дано CD = 5 и AB = CD). - Периметр P = 2(AB + BC) = 2(5 + 10) = 30. Ответ: P_ABCD = 30.