Реши задачу под номером 675

Задача 675: Стороны угла O касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке A. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой OA. Решение: 1) Пусть две окружности ω1 и ω2 дотрагиваются до сторон OA и OB угла ∠AOB и имеют общую касательную t в точке A (то есть касаются обеих окружностей в одной точке A одной и той же касательной t). 2) Так как каждая из окружностей касается обеих сторон угла OA и OB, ихcentры O1 и O2 лежат на бисектрисах угла ∠AOB: - O1 лежит на внутренней бисектрисе i угла AOB, - O2 лежит на внешней бисектрисе e угла AOB. Бисектрисы i и e проходят через вершину O и делят угол на две равные части (внутреннюю и внешнюю). 3) Так же как и любая окружность, касающаяся линии t в точке A, радиус к точке касания с t перпендикулярен t. СледовательноAO1 и AO2 лежат на одной прямой, перпендикулярной t, то есть точки A, O1 и O2 коллинеарны. Обозначим эту общую прямую как m. 4) Таким образом O1 и O2 лежат на двух бисектрисах i и e, и одновременно на одной общей прямой m (через A и перпендикулярной t): O1 ∈ i ∩ m, O2 ∈ e ∩ m. 5) Линии i и e — это симметричные друг друга бисектрисы относительно стороны OA угла ∠AOB. То есть OA является осью симметрии для пар бисектрис i и e. Следовательно, любая прямая, проходящая через A и пересекающая и i, и e симметрично относительно OA, должна совпадать с OA. В частности, прямая m, проходящая через A и пересекающая обе бисектрисы, должна совпадать с OA. 6) Следовательно прямая m совпадает с OA, и потому центры окружностей O1 и O2 лежат на одной прямой OA. Ответ: центры двух окружностей действительно лежат на прямой OA.