Реши 12 задачу по геометрии, в ответе должно быть 290

Задача 12. tgβ = 2,5. Найдите площадь прямоугольника.

Дано: прямоугольник ABCD, AB — высота, CD — высота, AH — часть нижней стороны AD, точка H на AD, ∠BHC = 90°, и длина CD равна 10.

1. Обозначим высоту AB за h. По условию CD = h = 10.

2. В треугольнике ABH угол при B равен β, так как BH пересекает сторону AB. Тангенс этого угла: tanβ = AH / AB = AH / h. Так как tanβ = 2,5 и h = 10, получаем AH = 2,5 · 10 = 25.

3. Обозначим ширину AD за w. Тогда H имеет координаты (AH, 0) = (25, 0), A = (0,0), B = (0,10), C = (w,10).

4. По условию ∠BHC = 90°. Это означает, что BH ⟂ HC. Сложим через углы наклонов:

   • наклон BH: m1 = (0 − 10) / (25 − 0) = −10/25 = −2/5.
   • наклон HC: m2 = (10 − 0) / (w − 25) = 10/(w − 25). Для перпендикулярности m1·m2 = −1: (−2/5) · (10/(w − 25)) = −1 ⇒ −20 / (5(w − 25)) = −1 ⇒ −4/(w − 25) = −1 ⇒ w − 25 = 4 ⇒ w = 29.

5. Площадь прямоугольника: S = AB · AD = h · w = 10 · 29 = 290.

Ответ: 290.