Основание AD прямоугольный трапеции ABCD с прямым углом A равна 12 см, AB=5 см, угол D=45 градусов. Найдите длины векторов BD, CD, AC

Question

Задача Задача №3375551

А

Аноним

10 сентября 2025 16:10 · публичный вопрос

А

Аноним 10 сентября 2025 16:10

Ответ нейросети

10 сентября 2025 16:10

Решение с шагами и пояснениями.

Дано: прямоугольная трапеция ABCD, AD = 12 см — основание (одна база), AB ⟂ AD и AB = 5 см, угол D = 45°. Предположим, основания AD и BC параллельны.

Поместим A в начало координат: A = (0, 0).
Так как AD лежит по оси x и длина AD = 12, D = (12, 0).
Так как угол A прямой и AB ⟂ AD, возьмём AB вдоль оси y: B = (0, 5) (потому что AB = 5).
База BC параллельна AD, значит y-координата B и C одинакова. Пусть C = (x, 5).

Вектор DA = A − D = (0 − 12, 0 − 0) = (−12, 0).
Вектор DC = C − D = (x − 12, 5 − 0) = (x − 12, 5).
Угол между DA и DC равен 45°. По формуле скалярного произведения: DA · DC = |DA| |DC| cos 45°. Подставим: (−12, 0) · (x − 12, 5) = |DA| |DC| cos 45° −12(x − 12) = 12 · sqrt((x − 12)² + 5²) · (√2 / 2) −12x + 144 = 6√2 · sqrt((x − 12)² + 25).
Разделим на 6: −2x + 24 = √2 · sqrt((x − 12)² + 25).
Возведём в квадрат и решим: (−2x + 24)² = 2[(x − 12)² + 25] 4x² − 96x + 576 = 2x² − 48x + 338 2x² − 48x + 238 = 0 x² − 24x + 119 = 0.
Дискриминант Δ = 24² − 4·119 = 576 − 476 = 100. Корни: x = [24 ± 10]/2 → x = 17 или x = 7.
Условие, чтобы угол D был 45° именно внутри трапеции (cos положителен), требует x < 12. Следовательно, выбираем x = 7.

Итак, координаты вершин: A = (0, 0), B = (0, 5), C = (7, 5), D = (12, 0).

BD: B → D вектор = D − B = (12 − 0, 0 − 5) = (12, −5). |BD| = sqrt(12² + (−5)²) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 см.
CD: C → D вектор = D − C = (12 − 7, 0 − 5) = (5, −5). |CD| = sqrt(5² + (−5)²) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50) = 5√2 см.
AC: A → C вектор = C − A = (7 − 0, 5 − 0) = (7, 5). |AC| = sqrt(7² + 5²) = sqrt(49 + 25) = sqrt(74) см.

Проверка быстрого соответствия:

AB = 5, AD = 12, угол A = 90° (AB ⟂ AD) — верно по построению.
Угол D = 45°: проверка через скалярное произведение даёт cos θ = √2/2, значит θ = 45°. Всё согласуется.