1/(2х^2-3х-9)+3/(х^2-х-6)=х/(2х^2+7х+6)

Задача: 1/(2х^2 - 3х - 9) + 3/(х^2 - х - 6) = х/(2х^2 + 7х + 6)

0. Обозначения и домен

• Разложим знаменатели на множители:
  • 2х^2 - 3х - 9 = (2х + 3)(х - 3)
  • х^2 - х - 6 = (х - 3)(х + 2)
  • 2х^2 + 7х + 6 = (2х + 3)(х + 2)
• Следовательно, x не может равняться: 3, -2, -3/2.

1. Очистим дроби от знаменателей Возьмём общий знаменатель D = (2х + 3)(х - 3)(х + 2) и умножим обе стороны на D:

• Первая дробь: 1/[(2х+3)(х-3)] умножить на D даёт (х + 2).
• Вторая дробь: 3/[(х-3)(х+2)] умножить на D даёт 3(2х + 3).
• Правая дробь: х/[(2х+3)(х+2)] умножить на D даёт х(х - 3).

Имеем уравнение: (х + 2) + 3(2х + 3) = х(х - 3)

2. Решение полученного квадратного уравнения Раскрываем левую часть: (х + 2) + (6х + 9) = 7х + 11

Правая часть: х(х - 3) = х^2 - 3х

Итак: 7х + 11 = х^2 - 3х 0 = х^2 - 3х - 7х - 11 = х^2 - 10х - 11

Разрешим квадратное уравнение: D = (-10)^2 - 4·1·(-11) = 100 + 44 = 144 х = [10 ± sqrt(144)]/2 = (10 ± 12)/2 Х = 11 или х = -1

3. Проверка условий домена

• Для x = 11: ничего не обращается в ноль в denominators, допустимо.
• Для x = -1: тоже все знаменатели не равны нулю, допустимо.

Ответ: x = 11 или x = -1.