Найдите объём и площадь полной поверхности правильной четырёх угольной призмы, диагональ которой, равная 10 см, составляет с боковым ребром угол 60 градусов.
Цель: Понять и решить подробно.
Задача: найти объём и площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы (то есть квадратной призмы), если её пространственная диагональ равна 10 см, и угол между этой диагональю и боковым ребром равен 60°.
Пусть база призмы — квадрат со стороны a, высота призмы — h. Тогда:
- пространственная диагональ призмы имеет длину d = sqrt(2a^2 + h^2);
- боковое ребро равно h.
Связь между a и h через угол между диагональю и боковым ребром Уместим диагональ вектором d_vec = (a, a, h) и боковым ребром — вертикальным вектором e_vec = (0, 0, h). Косинус угла между ними: cos(60°) = (d_vec · e_vec) / (|d_vec| |e_vec|) = (h^2) / (h sqrt(2a^2 + h^2)) = h / sqrt(2a^2 + h^2). Согласно условию cos(60°) = 1/2, поэтому: h / sqrt(2a^2 + h^2) = 1/2. Возводим в квадрат и приводим к отношению между a и h: 4h^2 = 2a^2 + h^2 => 3h^2 = 2a^2 => a^2 = (3/2) h^2. (1)
Из половины условия: пространственная диагональ d = 10 см d^2 = 2a^2 + h^2 = 100. Подставим (1): 2a^2 + h^2 = 2*(3/2 h^2) + h^2 = 3h^2 + h^2 = 4h^2. Тогда 4h^2 = 100 => h^2 = 25 => h = 5 см.
Из (1): a^2 = (3/2) * 25 = 75/2 = 37.5, поэтому a = sqrt(37.5) = (5√6)/2 ≈ 6.1237 см.
Объём призмы V = площадь основания * высота = a^2 * h = (75/2) * 5 = 375/2 = 187.5 см³.
Площадь полной поверхности Площадь одной боковой площади призмы: периметр основания умножить на высоту.
- основание — квадрат со стороной a, его площадь a^2 = 75/2.
- две основания: 2a^2 = 75 cm².
- боковая поверхность: 4a h = 4 * a * h. Вычислим 4ah: a = (5√6)/2, h = 5 → 4ah = 4 * (5√6/2) * 5 = 50√6 ≈ 122.47 см².
Итого площадь полной поверхности: S = 2a^2 + 4ah = 75 + 50√6 ≈ 197.47 см².
Ответ:
- Объём V = 187.5 см³ (или 375/2 см³).
- Площадь полной поверхности S ≈ 197.47 см² (точно S = 75 + 50√6 см²).
