Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными y'=x+3x2
Задача: решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными y' = x + 3x^2.
Такое уравнение можно считать separable, потому что правая часть зависит только от x, а не от y. Шаги решения:
Разделим переменные и запишем dy/dx = x + 3x^2 как dy = (x + 3x^2) dx.
Интегрируем обе стороны: ∫ dy = ∫ (x + 3x^2) dx.
Вычислим интегралы: Левый интеграл: ∫ dy = y. Правый интеграл: ∫ x dx = x^2/2, ∫ 3x^2 dx = x^3. Следовательно, y = x^2/2 + x^3 + C, где C — произвольная константа.
Общий вид решения: y(x) = x^3 + (1/2) x^2 + C.
Частное решение (при наличии начального условия): Если дано y(x0) = y0, то константа C равна C = y0 − [x0^3 + (1/2) x0^2]. Тогда y(x) = x^3 + (1/2) x^2 + y0 − [x0^3 + (1/2) x0^2].
Проверка: Дифференцируем полученное решение: dy/dx = 3x^2 + x = x + 3x^2, что совпадает с правой частью исходного уравнения.
Итог: частное решение без начального условия задаётся общей формой y(x) = x^3 + (1/2)x^2 + C. Если дадут начальные условия, можно найти конкретное значение C.
