Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными y'=x+3x2 если y(2)=5

Решение задачи по методам разделения переменных (разделяемое уравнение).

Дано: dy/dx = x + 3x^2.

1. Разделим переменные: dy = (x + 3x^2) dx.

2. Проинтегрируем обе стороны: ∫ dy = ∫ (x + 3x^2) dx y = x^2/2 + x^3 + C.

3. Применим условие y(2) = 5: 5 = (2^2)/2 + 2^3 + C = 2 + 8 + C = 10 + C => C = -5.

4. Частное решение: y(x) = x^2/2 + x^3 - 5.

Проверка:

• y'(x) = x + 3x^2, верно.
• y(2) = 5: y(2) = 2 + 8 - 5 = 5, условие удовлетворено.

Ответ: y(x) = x^2/2 + x^3 - 5.