) Вычислить пределы при x -> ∞ 1. lim n -> ∞ (10n ^ 3)/(n ^ 2 + 1)
Цель: Понять.
Задача: lim n→∞ (10 n^3)/(n^2 + 1)
Пошаговое решение:
Разделим числитель и знаменатель на n^2: (10 n^3)/(n^2 + 1) = [10 n^3 / n^2] / [(n^2 + 1)/n^2] = (10 n) / (1 + 1/n^2).
Анализируем предел:
- При n → ∞, 1/n^2 → 0, поэтому (10 n) / (1 + 1/n^2) → 10 n → ∞.
Прямое обоснование роста:
- Можно также заметить, что степень числителя на единицу больше степени знаменателя (3 против 2). При x → ∞ коэффициент при x в таком случае определяет асимптотическое поведение: выражение растёт как ≈ 10 x, то есть стремится к бесконечности.
Вывод: Предел не существует как конечное число; выражение стремится к +∞.
Ответ: +∞ (предел расходится).
Обсуждение
2 сообщениясделайте более расширенное пошаговое решение
Конечно! Давайте разберем задачу более подробно.
Задача: Вычислить предел при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{10n^3}{n^2 + 1} \]
Шаг 1: Анализ числителя и знаменателя
В нашем выражении:
- Числитель: \( 10n^3 \)
- Знаменатель: \( n^2 + 1 \)
Шаг 2: Деление на наибольшую степень n в знаменателе
Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень \( n \) в знаменателе, которая равна \( n^2 \). Мы можем сделать это следующим образом:
\[ \frac{10n^3}{n^2 + 1} = \frac{10n^3/n^2}{(n^2 + 1)/n^2} = \frac{10n}{1 + \frac{1}{n^2}} \]
Шаг 3: Определение предела при \( n \to \infty \)
Теперь подставим \( n \to \infty \) в упрощенное выражение:
- Числитель: \( 10n \to +\infty \)
- Знаменатель: \( 1 + \frac{1}{n^2} \to 1 + 0 = 1 \)
Поэтому:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{10n}{1 + \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10n}{1} = 10n \to +\infty \]
Шаг 4: Окончательный вывод
Таким образом, предел стремится к бесконечности:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{10n^3}{n^2 + 1} = +\infty \]
Заключение
Поскольку степень числителя (3) больше степени знаменателя (2), это означает, что выражение будет стремиться к бесконечности по мере увеличения \( n \).
Ответ: \( +\infty \) (предел расходится).
