как называются граничные точки вектора

Ключевой момент: вектор сам по себе не имеет “границы”. Границы говорят про множество точек в пространстве. Поэтому правильнее спросить: какие точки называются границами множества точек (векторных координат) в пространстве?

Определение

• Пусть A ⊂ R^n (множество точек в n-мерном пространстве). Граничная точка x ∈ R^n — такая, что в любой окрестности вокруг x встречаются как точки из A, так и точки не из A.
• Обозначение: ∂A — граница множества A.
• Связанные понятия:
  • Замыкание: cl(A) — множество точек, каждая окрестность которых пересекает A (точки можно добавлять в “пределах”).
  • Внутренняя часть: int(A) — множество точек, вокруг которых существует окрестность, полностью лежащая в A.
  • Тогда ∂A = cl(A) \ int(A).

Как это звучит простыми словами

• Граница — это «площадка между» тем, что внутри A, и тем, что вне A.
• Примеры наглядно:
  • A = открытый диск в R^2: A = {x ∈ R^2 : ||x|| < 1}. Граница ∂A — окружность {x : ||x|| = 1}.
  • A = замкнутый диск в R^2: A = {x ∈ R^2 : ||x|| ≤ 1}. Граница всё равно та же окружность {x : ||x|| = 1}, потому что внутренняя часть меняется: int(A) — это открытый диск, но граница остаётся окружностью.
  • A на прямой: A = [0,1]. Граница ∂A = {0, 1}.
  • Одиночная точка: A = {p} в R^n. Граница ∂A = {p} (у точки нет внутренней окрестности внутри A).

Почему это важно

• Если x принадлежит ∂A, то любая окрестность x пересекает как A, так и дополнение к A.
• Если x ∈ int(A), то найдётся окрестность вокруг x, полностью лежащая в A.
• Если x ∈ (R^n \ A) и не на границе, то найдётся окрестность вокруг x, полностью лежащая вне A.

Как проверить для конкретного x

• Метод 1 (проверка ординарной точки): для любого r > 0 ищите точки как в A, так и вне A в шаре B(x, r). Если оба типа встречаются для любых r, то x — граничная точка.
• Метод 2 (через closure и interior):
  • Найдите cl(A) и int(A).
  • Точки, которые входят в cl(A) и не входят в int(A), являются границей.

Советы для задач для школы

• Часто встречаются случаи: A задано неявно через неравенства. Пример: A = {x ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4}. Граница — окружность x^2 + y^2 = 4.
• Если A — объединение нескольких областей, граница — объединение границ соответствующих областей (иногда нужно учитывать пересечения).
• Для одной точки: граница равна сама точка.

Если хочешь, могу рассмотреть конкретную задачу или набор точек/множество, чтобы найти его границу и привести решение шаг за шагом. Пришли текст задачи или задай пример, и разберём.