Имеем известную формулу для суммы внутренних углов выпуклого (любой простой) многоугольника с n сторонами:
S = (n − 2) · 180 градусов.
Здесь n должно быть целым числом и не меньше 3.
Проверим каждую данную сумму.
a) S = 1440°
S = (n − 2) · 180
=> n − 2 = 1440 / 180 = 8
=> n = 10
Так как n целое и ≥ 3, существует выпуклый десятиугольник. Пример: обычный правильный десятиугольник имеет сумму углов 10 · (180 · (n-2)/n) = 1440°, а общая сумма действительно равна 1440°. Следовательно, существует.
b) S = 2070°
2070 / 180 = 11.5, т.е. n − 2 = 11.5 не целое, значит нельзя найти целое число n ≥ 3. Следовательно, такого выпуклого многоугольника не существует.
c) S = 4680°
4680 / 180 = 26
=> n − 2 = 26
=> n = 28
Так как n целое и ≥ 3, существует выпуклый двадцать восьмиугольник. Пример: правильный двадцать восьмиугольник имеет сумму углов 28 − 2 = 26 треугольников по 180° каждый, итого 26 · 180° = 4680°. Следовательно, существует.
Итог:
- 1440°: существует (n = 10).
- 2070°: не существует.
- 4680°: существует (n = 28).
