Задание 3. Докажите, что существует (не существует) выпуклый многоугольник, сумма углов которого составляет: a) 1 440°; 6) 2 070*; в) 4 680*.

Имеем известную формулу для суммы внутренних углов выпуклого (любой простой) многоугольника с n сторонами: S = (n − 2) · 180 градусов. Здесь n должно быть целым числом и не меньше 3.

Проверим каждую данную сумму.

a) S = 1440° S = (n − 2) · 180 => n − 2 = 1440 / 180 = 8 => n = 10

Так как n целое и ≥ 3, существует выпуклый десятиугольник. Пример: обычный правильный десятиугольник имеет сумму углов 10 · (180 · (n-2)/n) = 1440°, а общая сумма действительно равна 1440°. Следовательно, существует.

b) S = 2070° 2070 / 180 = 11.5, т.е. n − 2 = 11.5 не целое, значит нельзя найти целое число n ≥ 3. Следовательно, такого выпуклого многоугольника не существует.

c) S = 4680° 4680 / 180 = 26 => n − 2 = 26 => n = 28

Так как n целое и ≥ 3, существует выпуклый двадцать восьмиугольник. Пример: правильный двадцать восьмиугольник имеет сумму углов 28 − 2 = 26 треугольников по 180° каждый, итого 26 · 180° = 4680°. Следовательно, существует.

Итог:

• 1440°: существует (n = 10).
• 2070°: не существует.
• 4680°: существует (n = 28).