Найти все натуральные числа х и у такие 11х +18у =98

Задача: найти все натуральные числа x и y такие, что 11x + 18y = 98. Пошаговое решение: 1) Найдём целые решения по модулю 11. - 11x + 18y = 98 ⇔ 18y ≡ 98 (mod 11). - 18 ≡ 7 (mod 11), 98 ≡ 10 (mod 11). Значит 7y ≡ 10 (mod 11). - Найдём обратную к 7 мод 11. 7·8 = 56 ≡ 1 (mod 11), значит обратная числа 7 есть: 8. - Умножим обе стороны на 8: y ≡ 10·8 ≡ 80 ≡ 3 (mod 11). Тогда y = 3 + 11t, где t ∈ Z. 2) Подставим в исходное уравнение и найдём x. - 11x + 18(3 + 11t) = 98 - 11x + 54 + 198t = 98 - 11x = 44 - 198t - x = 4 - 18t Таким образом, все целые решения: x = 4 - 18t, y = 3 + 11t при t ∈ Z. 3) Теперь требуем натуральные числа (обычно положительные: x > 0, y > 0). - x > 0 → 4 - 18t > 0 ⇒ t < 4/18 = 2/9 ⇒ t ≤ 0. - y > 0 → 3 + 11t > 0 ⇒ t > -3/11 ⇒ t ≥ 0. Единственное значение t, удовлетворяющее и первым, и вторым неравенствам: t = 0. Следовательно, единственная пара натуральных чисел: - x = 4, y = 3. Проверка: 11·4 + 18·3 = 44 + 54 = 98. Да, верно. Ответ: x = 4, y = 3.