x⁴-5x²-36=0

Решение задачи x^4 − 5x^2 − 36 = 0

Идея: рассмотреть как квадратное уравнение по возрасту переменной t = x^2.

1. Введем t = x^2. Тогда уравнение становится квадратичным по t: t^2 − 5t − 36 = 0.

2. Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно разложить на множители: t^2 − 5t − 36 = (t − 9)(t + 4) = 0. Значит, t = 9 или t = −4.

3. Обратно подставим t = x^2:

   • При x^2 = 9 получаем x = ±3.
   • При x^2 = −4 получаем комплексные корни x = ±2i. В реальных числах таких решений нет.

4. Ответ в области действительных чисел: x = −3 или x = 3.

5. Дополнительно (для полноты и на случай, если рассматривать комплексные числа): Все корни полинома даны парами: x = −3, 3, 2i, −2i. Факторизация: x^4 − 5x^2 − 36 = (x^2 − 9)(x^2 + 4).

6. Проверка (по хорошей привычке): (x^2 − 9)(x^2 + 4) = x^4 − 5x^2 − 36, что совпадает с исходным выражением. Для реальных корней проверка даёт: x = 3 → 3^4 − 5·3^2 − 36 = 81 − 45 − 36 = 0; аналогично для x = −3.

Итого: на целых числах (real) решения x = −3 и x = 3. Если учитываются комплексные числа, то дополнительно x = ±2i.