Задача 219: В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро…

Ниже подробное решение задачи.

Задано:

• В прямоугольном параллелепипеде основание имеет стороны a = 12 см и b = 5 см.
• Боковое ребро (высота) h — неизвестно.
• Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол θ = 45°.

1. Длина проекции пространственной диагонали на основание.

• Проекция диагонали на плоскость основания равна диагонали прямоугольника основания.
• Ее длина p = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(12^2 + 5^2) = sqrt(144 + 25) = sqrt(169) = 13 см.

2. Связь между углом между диагональю и основанием и сторонами параллелепипеда.

• Пространственная диагональ образует с проекцией на основание угол θ. В треугольнике, где гипотенуза — диагональ, один катет — проекция p, другой катет — высота h.
• Поэтому tan(θ) = противоположный катет / прилежащий катет = h / p.
• Дано θ = 45°, значит tan(45°) = 1, следовательно h = p.

3. Подстановка значений.

• h = p = 13 см.

Ответ: боковое ребро параллелепипеда равно 13 см.