В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD. Периметр треугольника АВС равен 50 см, периметр треугольника ABD равен 30 см. Найдите длину биссектрисы…

Найдем длину биссектрисы BD (похоже, в задаче опечатка: биссектрисой является BD, а не BC).

Дано:

• ABC — равнобедренный с основанием AC, значит AB = BC.
• BD — биссектриса угла B, D лежит на AC.
• Периметры: P(ABC) = AB + BC + AC = 50; P(ABD) = AB + BD + AD = 30.

Обозначим AB = BC = x, AC = a. Тогда:

• 2x + a = 50.
• Так как BD — биссектриса и треугольник равнобедренный, D — середина основания, значит AD = DC = a/2.

Пусть BD = t. Тогда в треугольнике ABD: AB + BD + AD = x + t + a/2 = 30.

Теперь решим систему. Из первого уравнения a = 50 - 2x. Подставим во второе: x + t + (50 - 2x)/2 = 30 x + t + 25 - x = 30 t + 25 = 30 t = 5.

Итак, длина биссектрисы BD равна 5 см.

Проверка (не забываем про верификацию через формулу длины биссектрисы): для удовольствия можно проверить с помощью l_b^2 = AB·BC [1 - (AC^2/(AB+BC)^2)]. Здесь AB = BC = x, AC = a, и l_b^2 = x^2 [1 - a^2/(4x^2)] = x^2 - a^2/4. Подставляя a = 50 - 2x и t = 5, получаем согласование и x = 13, a = 24, что даёт BD = 5 и удовлетворяет всем условиям.

Ответ: длина биссектрисы BD равна 5 см.