паралераграм один из углов равен 45 градусам d1=18см ,d2=12см ,S-?
Задача: параллелограмм, один угол 45°, диагонали d1 = 18 см и d2 = 12 см. Найти площадь S.
Пояснения и решение (пошагово):
Обозначим стороны параллелограмма как a и b, угол между ними как θ. По условию θ = 45°, значит cos θ = sin θ = √2/2.
Формулы для длин диагоналей в параллелограмме:
- длинна более длинной диагонали: d1^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ
- длинна менее длинной диагонали: d2^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos θ
(Можно считать, что d1 — длиннее, поэтому в формуле знак плюса соответствует d1.)
Разность квадратов диагоналей: d1^2 − d2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab cos θ) − (a^2 + b^2 − 2ab cos θ) = 4ab cos θ.
Подставим данные и θ: d1^2 − d2^2 = 18^2 − 12^2 = 324 − 144 = 180. cos θ = cos 45° = √2/2.
Значит: 180 = 4ab · (√2/2) = 2ab√2 → ab = 180 / (2√2) = 90 / √2 = 45√2.
- Площадь параллелограмма: S = ab sin θ = (45√2) · (√2/2) = 45 · (2/2) = 45.
Ответ: S = 45 см².
Дополнительная примечание: Если использовать другую нумерацию диагоналей (где длинная диагональ обозначена как d1 или d2), принцип остается тем же: разность квадратов диагоналей равна 4ab cos θ, и с θ = 45° это даёт тот же результат площади.
