A B Дано: плоскости а и В пересекаются по прямой а. Точки А и В принадлежат плоскости а, а точка С- плоскости В. Построить прямые пересечения плоскости АВС с плоскостями а и В.

Пусть α и β — плоскости, их общая прямая a. На плоскости α лежат точки A, B, а точка C лежит на β. Пусть plane ABC — плоскость, проходящая через A, B и C.

1. Прямая пересечения с α:

• Так как A и B принадлежат α, а AB лежит в плоскости ABC, получается AB = α ∩ ABC. Значит прямая пересечения ABC с α есть AB.

2. Прямая пересечения с β:

• Рассмотрим точку P = AB ∩ a (если такой точки нет — AB параллельна a).
• Если P существует, то P лежит и в α (на AB) и в β (на a). Так как P и C лежат в плоскости ABC и на β соответственно, то прямая PC лежит в β и в ABC. Следовательно PC = β ∩ ABC.
• Если же AB ∥ a, то прямая пересечения β и ABC есть прямая, проходящая через C и параллельная a (и, следовательно, параллельная AB). Такая прямая лежит в β (так как она параллельна a, который лежит в β) и в ABC (так как через C можно построить линию, параллельную AB, которая лежит в плоскости ABC).

Итого:

• Пересечение ABC с α — прямая AB.
• Пересечение ABC с β — либо прямая PC, где P = AB ∩ a (если такая точка существует), либо прямая через C, параллельная a (если AB ∥ a).

Алгоритм построения:

• Постройте прямую AB через A и B. Это искомая граница ABC ∩ α.
• Найдите точку P пересечения AB и a. Если она есть, проведите линию PC. Это искомая граница ABC ∩ β.
• Если пересечения нет (AB ∥ a), проведите через C линию, параллельную a. Эта линия и есть искомая граница ABC ∩ β.