1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине, равным 36°,проведена биссектриса AD и в треугольнике ADB — медиана DM. Найдите угол ADM.

54°

Кратко решение:

• Так как основание AC, вершина B, AB = BC, то углы A и C равны: ∠A = ∠C = (180° − 36°)/2 = 72°.
• AD — биссектор угла A, значит ∠DAB = 36°. Так как D лежит на BC, ∠ABD = ∠ABC = 36°.
• В треугольнике ABD имеем ∠DAB = ∠ABD = 36°, поэтому ∠ADB = 180° − 36° − 36° = 108°.
• По закону синусов в △ABD: AD = AB · sin 36° / sin 108° и BD = AB · sin 36° / sin 108°, следовательно AD = BD. Значит △ABD — равнобедренный с вершиной D, основание AB.
• Медина DM к основанию AB в равнобедренном треугольнике является биссектором угла при вершине D. Значит ∠ADM = 1/2 ∠ADB = 1/2 · 108° = 54°.