Решить

Ниже подробное решение по обеим задачам из изображения. Я дам пошаговое разбор для школьного уровня.

Часть 18. Перечислить свойства функции и построить график Общие свойства функции y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1:

• Область определения: все действительные x.
• Область значений (множество значений): y > 0, то есть (0, +∞).
• Значение при x = 0: y(0) = a^0 = 1.
• Наклон графика:
  • если a > 1, функция возрастает (растёт слева направо);
  • если 0 < a < 1, функция убывает (убывает слева направо).
• Гиперболическая горизонтальная асимптота: y = 0, при x → -∞ (для a > 1) или при x → ∞ (для 0 < a < 1).
• Прогноз по поведению: при x → ∞ y → ∞ если a > 1; при x → ∞ y → 0 если 0 < a < 1; при x → -∞ y → 0 если a > 1; при x → -∞ y → ∞ если 0 < a < 1.
• Вторая производная положительная: функции вида a^x имеют выпуклость вверх (доказуемо: d^2/dx^2 a^x = a^x (ln a)^2 > 0).

Теперь разоберём каждую из четырёх функций:

a) y = 3^x

• база > 1 → возрастает.
• область значений: (0, +∞).
• y-перехет в точке x = 0: y(0) = 1.
• асимптота: y = 0 при x → -∞.
• график: растущий экспонент с стартом near 0 на левой стороне и стремлением к бесконечности вправо. График положительный всегда и пересекает ось y в (0,1] на уровне y = 1 при x = 0.

b) y = 1.5^x

• база > 1 → возрастает (медленнее, чем 3^x).
• Область значений: (0, +∞).
• y(0) = 1.
• Асимптота: y = 0 при x → -∞.
• График аналогичный предыдущему, но менее «крутой» на больших x.

c) y = 0.3^x

• база 0 < a < 1 → убывает.
• Область значений: (0, +∞).
• y(0) = 1.
• Асимптота: y = 0 при x → +∞.
• График убывающий, с правой стороны стремится к нулю; слева растёт без ограничений (при x → -∞ y → ∞).

d) y = 0.8^x

• база 0 < a < 1 → убывает.
• Область значений: (0, +∞).
• y(0) = 1.
• Асимптота: y = 0 при x → +∞.
• График убывающий, аналогично 0.3^x, но менее крутой.

Краткое резюме для 18:

• При a > 1 график возрастает и имеет горизонтальную асимптоту y = 0 слева.
• При 0 < a < 1 график убывает и имеет горизонтальную асимптоту y = 0 справа.
• Во всех случаях y(0) = 1 и y > 0.

Часть 19. Найти область значений функции (диапазон значений, Range) Задачи: определить множество значений y, которые могут принимать функции y = f(x).

a) y = -2^x

• 2^x > 0 для любого x. Со знаком минус получаем y < 0.
• При x → ∞: 2^x → ∞, y → -∞.
• При x → -∞: 2^x → 0, y → -0 = 0 (снижение в направление нуля, но никогда не достигает 0).
• Следовательно, область значений: (-∞, 0).

б) y = 5^x - 2

• 5^x > 0, поэтому y > -2.
• При x → -∞: 5^x → 0, y → -2 (но никогда не достигает -2).
• При x → ∞: 5^x → ∞, y → ∞.
• Область значений: (-2, +∞).

в) y = 3^{x+1} - 3

• 3^{x+1} > 0, поэтому y > -3.
• При x → -∞: 3^{x+1} → 0, y → -3 (но не достигается).
• При x → ∞: y → ∞.
• Область значений: (-3, +∞).

г) y = (1/3)^x + 1

• (1/3)^x > 0, поэтому y > 1.
• При x → ∞: (1/3)^x → 0, y → 1 (но не достигается).
• При x → -∞: (1/3)^x → ∞, y → ∞.
• Область значений: (1, +∞).

д) y = -(1/4)^x

• (1/4)^x > 0, поэтому y < 0.
• При x → ∞: (1/4)^x → 0, y → -0 = 0 с отрицательной стороны.
• При x → -∞: (1/4)^x → ∞, y → -∞.
• Область значений: (-∞, 0).

е) y = (1/2)^{x-1} + 2

• (1/2)^{x-1} > 0, поэтому y > 2.
• При x → ∞: (1/2)^{x-1} → 0, y → 2 (но не достигается).
• При x → -∞: (1/2)^{x-1} → ∞, y → ∞.
• Область значений: (2, +∞).

Итоги:

• 18: для всех четырех функций: домен R; y > 0; y(0) = 1; тип зависимости (возрастание для a>1, убывание для 0<a<1); асимптота y = 0.
• 19: перечисленные диапазоны значений: a) (-∞, 0) b) (-2, ∞) c) (-3, ∞) d) (1, ∞) e) (-∞, 0) f) (2, ∞)

Если нужно, могу добавить эскизы графиков или привести конкретные значения точек пересечения с осями для каждой функции.