Дае точки двигаются по плоскости x0y по законам: r1 = (1-2t)ex + (3t-2)ey, r2 = (1,5t-6)ex + 4ey, t>=0,1) 1) Постронть траектории движения 2) Найти графически и аналитически точку пересечения траекторий. 3)Найти острый угол под которым пересекаются траектории 4)Встретятся ли точки? Если да, то указать время их встречи 5) Найти перемешение трасктории первой точки за третью секунду

Ниже подробное решение по пунктам. Поскольку цель — понять, объяснение детальное, я расписываю шаги и даю графическую интуицию и вычисления. Данные: - r1(t) = (x1, y1) = (1 − 2t, 3t − 2), t ≥ 0 - r2(t) = (x2, y2) = (1.5t − 6, 4), t ≥ 0 - Здесь ex, ey нормальные единичные векторы, т.е. координаты в метрах (при условии, что единицы времени — секунды). 1) Построение траекторий движения - Для r1: x1 = 1 − 2t, y1 = 3t − 2. Видно, что обе координаты линейны по t, значит траектория — прямая. Усложняем задачу, исключим t: t = (1 − x1)/2. Подставим в y1: y1 = 3[(1 − x1)/2] − 2 = (3 − 3x1)/2 − 2 = −(1 + 3x1)/2. Перепишем в виде линейного уравнения: 3x1 + 2y1 + 1 = 0. Таким образом траектория r1 лежит на прямой L1: 3x + 2y + 1 = 0. - Для r2: x2 = 1.5t − 6, y2 = 4. Здесь y2 постоянно равно 4, значит траектория — прямая горизонтальная L2: y = 4. (Можно получить уравнение через t: t = (x2 + 6)/1.5, но достаточно заметить, что y = 4.) Кратко: траектории — пересекающиеся прямые: - L1: 3x + 2y + 1 = 0 - L2: y = 4 Графически: - Точка пересечения траекторий — там, где L1 пересекает L2: подставим y = 4 в L1: 3x + 2·4 + 1 = 0 ⇒ 3x + 9 = 0 ⇒ x = −3. Пересечение траекторий в точке P = (−3, 4). 2) Найти графически и аналитически точку пересечения траекторий - Графически: пересечение прямых L1 и L2 даёт P = (−3, 4). - Аналитически (система на одну переменную), движение по времени одинаково для обеих точек, ищем t ≥ 0 такое, чтобы r1(t) = r2(t): x координаты: 1 − 2t = 1.5t − 6 y координаты: 3t − 2 = 4 Из второго уравнения: 3t = 6 ⇒ t = 2. Подставим в первое: 1 − 4 = 1.5·2 − 6 ⇒ −3 = −3 (верно). Значит точки совпадают в момент t = 2 с координатами r1(2) = (1 − 4, 3·2 − 2) = (−3, 4) и r2(2) = (1.5·2 − 6, 4) = (−3, 4). Итого, точка пересечения траекторий геометрически и временно совпадает: P = (−3, 4) при t = 2 с. 3) Острый угол под которым пересекаются траектории - Тangent directions на момент пересечения задаются скоростями (производными) в момент t = 2: r1'(t) = (−2, 3) — постоянная скорость для r1 r2'(t) = (1.5, 0) = (3/2, 0) — постоянная скорость для r2 - Угол между векторами v1 = r1'(2) и v2 = r2'(2) даёт угол между траекториями. Косинус угла: cos φ = (v1 · v2) / (|v1| |v2|) v1 · v2 = (−2)(1.5) + 3·0 = −3 |v1| = √(4 + 9) = √13 |v2| = √((1.5)^2 + 0) = 1.5 cos φ = −3 / (√13 · 1.5) = −2 / √13 ≈ −0.5547 - Углы между прямыми обычно берут как меньший угол между их направлениями (острый угол). Поэтому: φ_acute = arccos(|cos φ|) = arccos(2/√13) ≈ arccos(0.5547) ≈ 56.6 градусов. (Замечание: фактический угол между векторами равен arccos(−2/√13) ≈ 123.4°, но для траекторий обычно берут меньший, острый угол ~56.6°.) 4) Встретятся ли точки? Если да, указать время их встречи - Как точки пересечения траекторий (геометрически), они пересекаются в P = (−3, 4). - Времена совпадения всех траекторий: решая r1(t) = r2(t) получаем t = 2. Таким образом точки достигают пересечения в одно и то же время на обоих тракторах: Время встречи t = 2 секунды. - Следовательно, да, точки встретятся, и это произойдёт в момент t = 2 s в точке P = (−3, 4). 5) Найти перемещение первой точки за третью секунду - Третья секунда движения обычно означает интервал t ∈ [2, 3], то есть displacement за 3-ю секунду. - Лучший способ: displacement = r1(3) − r1(2). r1(3) = (1 − 2·3, 3·3 − 2) = (−5, 7) r1(2) = (1 − 4, 3·2 − 2) = (−3, 4) Δr1 = (−5 − (−3), 7 − 4) = (−2, 3) - Ответ: перемещение первой точки за третью секунду равно вектору Δr1 = (−2, 3) (единицы в метрах, если исходные координаты в метрах). - Модуль этого перемещения: |Δr1| = √((-2)^2 + 3^2) = √13 ≈ 3.61 м. Направление совпадает с вектором скорости r1'(t) = (−2, 3). Итоговые ответы: - Траектории: r1 лежит на прямой L1: 3x + 2y + 1 = 0; r2 лежит на прямой L2: y = 4. - Точка пересечения траекторий: P = (−3, 4). Время встречи: t = 2 s (при условии совпадения времени). - Острый угол между траекториями: примерно 56.6 градусов. - Есть ли встречи? Да, в точке P = (−3, 4) при t = 2 s. - Перемещение первой точки за третью секунду: Δr1 = (−2, 3) м (модуль ≈ 3.61 м).