Дае точки двигаются по плоскости x0y по законам: r1 = (1-2t)ex + (3t-2)ey, r2 = (1,5t-6)ex + 4ey, t>=0,1) 1) Постронть траектории движения 2) Найти графически и аналитически точку…

Ниже подробное решение по пунктам. Поскольку цель — понять, объяснение детальное, я расписываю шаги и даю графическую интуицию и вычисления.

Данные:

• r1(t) = (x1, y1) = (1 − 2t, 3t − 2), t ≥ 0
• r2(t) = (x2, y2) = (1.5t − 6, 4), t ≥ 0
• Здесь ex, ey нормальные единичные векторы, т.е. координаты в метрах (при условии, что единицы времени — секунды).

1. Построение траекторий движения

• Для r1: x1 = 1 − 2t, y1 = 3t − 2. Видно, что обе координаты линейны по t, значит траектория — прямая. Усложняем задачу, исключим t: t = (1 − x1)/2. Подставим в y1: y1 = 3[(1 − x1)/2] − 2 = (3 − 3x1)/2 − 2 = −(1 + 3x1)/2. Перепишем в виде линейного уравнения: 3x1 + 2y1 + 1 = 0. Таким образом траектория r1 лежит на прямой L1: 3x + 2y + 1 = 0.

• Для r2: x2 = 1.5t − 6, y2 = 4. Здесь y2 постоянно равно 4, значит траектория — прямая горизонтальная L2: y = 4. (Можно получить уравнение через t: t = (x2 + 6)/1.5, но достаточно заметить, что y = 4.)

Кратко: траектории — пересекающиеся прямые:

• L1: 3x + 2y + 1 = 0
• L2: y = 4

Графически:

• Точка пересечения траекторий — там, где L1 пересекает L2: подставим y = 4 в L1: 3x + 2·4 + 1 = 0 ⇒ 3x + 9 = 0 ⇒ x = −3. Пересечение траекторий в точке P = (−3, 4).

2. Найти графически и аналитически точку пересечения траекторий

• Графически: пересечение прямых L1 и L2 даёт P = (−3, 4).
• Аналитически (система на одну переменную), движение по времени одинаково для обеих точек, ищем t ≥ 0 такое, чтобы r1(t) = r2(t): x координаты: 1 − 2t = 1.5t − 6 y координаты: 3t − 2 = 4 Из второго уравнения: 3t = 6 ⇒ t = 2. Подставим в первое: 1 − 4 = 1.5·2 − 6 ⇒ −3 = −3 (верно). Значит точки совпадают в момент t = 2 с координатами r1(2) = (1 − 4, 3·2 − 2) = (−3, 4) и r2(2) = (1.5·2 − 6, 4) = (−3, 4). Итого, точка пересечения траекторий геометрически и временно совпадает: P = (−3, 4) при t = 2 с.

3. Острый угол под которым пересекаются траектории

• Тangent directions на момент пересечения задаются скоростями (производными) в момент t = 2: r1'(t) = (−2, 3) — постоянная скорость для r1 r2'(t) = (1.5, 0) = (3/2, 0) — постоянная скорость для r2

• Угол между векторами v1 = r1'(2) и v2 = r2'(2) даёт угол между траекториями. Косинус угла: cos φ = (v1 · v2) / (|v1| |v2|) v1 · v2 = (−2)(1.5) + 3·0 = −3 |v1| = √(4 + 9) = √13 |v2| = √((1.5)^2 + 0) = 1.5 cos φ = −3 / (√13 · 1.5) = −2 / √13 ≈ −0.5547

• Углы между прямыми обычно берут как меньший угол между их направлениями (острый угол). Поэтому: φ_acute = arccos(|cos φ|) = arccos(2/√13) ≈ arccos(0.5547) ≈ 56.6 градусов.

(Замечание: фактический угол между векторами равен arccos(−2/√13) ≈ 123.4°, но для траекторий обычно берут меньший, острый угол ~56.6°.)

4. Встретятся ли точки? Если да, указать время их встречи

• Как точки пересечения траекторий (геометрически), они пересекаются в P = (−3, 4).
• Времена совпадения всех траекторий: решая r1(t) = r2(t) получаем t = 2. Таким образом точки достигают пересечения в одно и то же время на обоих тракторах: Время встречи t = 2 секунды.
• Следовательно, да, точки встретятся, и это произойдёт в момент t = 2 s в точке P = (−3, 4).

5. Найти перемещение первой точки за третью секунду

• Третья секунда движения обычно означает интервал t ∈ [2, 3], то есть displacement за 3-ю секунду.

• Лучший способ: displacement = r1(3) − r1(2). r1(3) = (1 − 2·3, 3·3 − 2) = (−5, 7) r1(2) = (1 − 4, 3·2 − 2) = (−3, 4) Δr1 = (−5 − (−3), 7 − 4) = (−2, 3)

• Ответ: перемещение первой точки за третью секунду равно вектору Δr1 = (−2, 3) (единицы в метрах, если исходные координаты в метрах).

• Модуль этого перемещения: |Δr1| = √((-2)^2 + 3^2) = √13 ≈ 3.61 м. Направление совпадает с вектором скорости r1'(t) = (−2, 3).

Итоговые ответы:

• Траектории: r1 лежит на прямой L1: 3x + 2y + 1 = 0; r2 лежит на прямой L2: y = 4.
• Точка пересечения траекторий: P = (−3, 4). Время встречи: t = 2 s (при условии совпадения времени).
• Острый угол между траекториями: примерно 56.6 градусов.
• Есть ли встречи? Да, в точке P = (−3, 4) при t = 2 s.
• Перемещение первой точки за третью секунду: Δr1 = (−2, 3) м (модуль ≈ 3.61 м).