Решите уравнение 8^x +18^x-2×27^x=0

Задача: решим 8^x + 18^x - 2·27^x = 0.

1. Разделим обе стороны на 27^x (положительно для любого real x): (8/27)^x + (18/27)^x - 2 = 0.

2. Перепишем дроби через основы 2 и 3: (8/27)^x = (2^3/3^3)^x = (2/3)^{3x}, (18/27)^x = (2·3^2/3^3)^x = (2/3)^x · (3^2/3^2)^x = (2/3)^x.

Обозначим u = (2/3)^x. Тогда уравнение принимает вид: u^3 + u - 2 = 0.

3. Найдем корни кубического уравнения: u^3 + u - 2 = (u - 1)(u^2 + u + 2).

Квадратное множитель имеет дискриминант Δ = 1 - 8 = -7 < 0, значит реально единственный корень: u = 1.

4. Возвращаемся к x: u = (2/3)^x = 1. Так как основание 2/3 не равно 1, единственный способ получить 1 — x = 0.

Проверка: 8^0 + 18^0 - 2·27^0 = 1 + 1 - 2 = 0.

Ответ: x = 0 (единственное действительное решение).