4^1/cos^2x -2^tg^2x -3=0
Я предполагаю, что задача записана как 4 / cos^2 x - 2^(tan^2 x) - 3 = 0, то есть (4)/(cos^2 x) − 2^(tan^2 x) − 3 = 0. Если же момент с скобками другой, скажите — скорректирую решение.
Пошаговое решение
Перепишем в удобной форме: 4 / cos^2 x - 2^(tan^2 x) - 3 = 0 4 sec^2 x - 2^(tan^2 x) - 3 = 0.
Перенесём части уравнения: 4 sec^2 x - 3 = 2^(tan^2 x).
Используем тождество sec^2 x = 1 + tan^2 x: 4(1 + tan^2 x) - 3 = 2^(tan^2 x) 1 + 4 tan^2 x = 2^(tan^2 x).
Введём переменную t = tan^2 x ≥ 0. Тогда 1 + 4t = 2^t.
Найдём значения t. Видим, что t = 0 удовлетворяет уравнению: 1 + 0 = 2^0 = 1 → да, t = 0 является решением.
Убедимся, что есть ещё корни. Рассмотрим f(t) = 2^t − (1 + 4t). Тогда f'(t) = (ln 2)·2^t − 4, f''(t) = (ln 2)^2·2^t > 0, значит f тождественно выпукла и может иметь максимум два корня. Уже найден нулевой корень; есть ещё второй корень при больших t.
Численно второй корень: t ≈ 4.1317 (решение 2^t = 1 + 4t). Соответственно tan^2 x = t ≈ 4.1317.
- Следовательно, tan x может быть нулём или равно ±√t. Получаем два типа решений по x:
- Если tan x = 0 → x = kπ, где k ∈ Z.
- Если tan x = ±√t, то x = arctan(√t) + kπ и x = −arctan(√t) + kπ, где k ∈ Z.
Численные значения
- √t ≈ √4.1317 ≈ 2.033
- arctan(√t) ≈ arctan(2.033) ≈ 1.114 rad ≈ 63.8°
Итак, решения задачи:
- x = kπ, k ∈ Z
- x ≈ ±1.114 + kπ, k ∈ Z
Замечание
- Доменная область: cos x ≠ 0 (чтобы 4/cos^2 x было определено) и tan x определён (что тоже требует cos x ≠ 0).
- Если задача была записана иначе (например, 4^(1/cos^2 x) − 2^(tan^2 x) − 3 = 0), дайте знать — переделаю решение под другую интерпретацию.
