"Решите уравнение logx-181=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них."

Класс, давай разберёмся вместе.

Задача: решить уравнение log_{x-1} 81 = 2, если уравнение имеет более одного корня, взять меньший.

Шаги решения:

• Условия области логарифма: база a = x-1 должна быть положительной и не равной 1:
  • x - 1 > 0 → x > 1
  • x - 1 ≠ 1 → x ≠ 2
• Правило логарифма: если log_{a} b = c, то a^c = b (при a > 0, a ≠ 1, b > 0). Здесь a = x-1, b = 81, c = 2. Следовательно, (x-1)^2 = 81.
• Решаем: x-1 = 9 или x-1 = -9.
  • Первый вариант: x = 10
  • Второй вариант: x = -8

Проверяем по области:

• x = 10 удовлетворяет x > 1 и x ≠ 2, база 9, логарифм определён, и log_9 81 = 2 — верно.
• x = -8 не удовлетворяет x > 1, поэтому базу нельзя разделить на положительное число. Это недопустимо для логарифма. Следовательно, этот корень не считается.

Итак, правильный ответ: 10.

Почему мой ответ -8 неверен:

• Он получается из решения (x-1)^2 = 81, но проигнорирован важный условие: база логарифма должна быть положительной и не равной 1. Для x = -8 база x-1 = -9, что недопустимо. Поэтому этот корень исключаем.

Кратко: сначала решаем (x-1)^2 = 81, потом отбираем только те корни, которые удовлетворяют условиям области логарифма (x > 1, x ≠ 2). Тогда остаётся только x = 10.

Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.