Реши

Задача решается как система неравенств с корнями:

1. sqrt(4 − 3y) ≤ −2 − x
2. sqrt(2x + 5) ≤ −x − 1

Пошагово.

1. Область допустимых значений (домены корней)

• 4 − 3y ≥ 0 → y ≤ 4/3
• 2x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5/2

Также чтобы неравнение sqrt(… ) ≤ неотрицательное число имело смысл, правые части должны быть неотрицательны:

• для второго неравенства: −x − 1 ≥ 0 → x ≤ −1 Но из условия 2 получаем точнее: решаем точно.

2. Решение второго неравенства sqrt(2x + 5) ≤ −x − 1

• Требуем: −x − 1 ≥ 0 → x ≤ −1.
• Затем можно взять квадрат (потому что обе стороны неотрицательны): 2x + 5 ≤ (−x − 1)^2 = x^2 + 2x + 1 0 ≤ x^2 − 4 ⇒ x ≤ −2 или x ≥ 2. Совмещаем с x ≤ −1: получаем x ≤ −2.
• Также из домена x ≥ −5/2. Итак, решение второй неравенства: -2 ≥ x ≥ −5/2 → x ∈ [−5/2, −2].

3. Решение первого неравенства при x из полученного диапазона Поскольку для x ≤ −2 правая часть −2 − x ≥ 0, можно возвести в квадрат: 4 − 3y ≤ (−2 − x)^2 −3y ≤ (−2 − x)^2 − 4 y ≥ [4 − (−2 − x)^2] / 3. Дополнительно y ≤ 4/3 из домена.

Итак, для каждого x ∈ [−5/2, −2] неравнение дает: y ∈ [ [4 − (−2 − x)^2]/3 , 4/3 ].

4. Альтернативно удобное представление области

• Можно выразить зависимость через y: из первого неравенства y ≤ 4/3 и x ≤ −2 − sqrt(4 − 3y). Чтобы x был в допустимом диапазоне [−5/2, −2], нужно sqrt(4 − 3y) ≤ 1/2, то есть y ≥ 5/4. Следовательно: y ∈ [5/4, 4/3], а для данного y x ∈ [−5/2, −2 − sqrt(4 − 3y)].

5. Проверочные точки

• Пример на границе: x = −2, y = 4/3: sqrt(4 − 3·(4/3)) = sqrt(0) = 0 ≤ −2 − (−2) = 0 и sqrt(2·(−2) + 5) = sqrt(1) = 1 ≤ −(−2) − 1 = 1. Это допустимо.
• Пример на другой границе: x = −5/2, y = 5/4: sqrt(4 − 3·(5/4)) = sqrt(4 − 15/4) = sqrt(1/4) = 1/2 ≤ −(−5/2) − 2 = 2.5 − 2 = 0.5 и sqrt(2·(−5/2) + 5) = sqrt(0) = 0 ≤ −(−5/2) − 1 = 2.5 − 1 = 1.5. Это также верно.

Итого, множество решений можно записать двумя эквивалентными способами:

• Варьируя x: x ∈ [−5/2, −2], y ∈ [ [4 − (−2 − x)^2]/3 , 4/3 ].
• Варьируя y: y ∈ [5/4, 4/3], x ∈ [−5/2, −2 − sqrt(4 − 3y)].

Эти формулировки описывают одну и ту же область решений система неравенств. Финальные границы совпадают: y лежит в диапазоне от 5/4 до 4/3, а x в соответствующем диапазоне до границы x = −2 − sqrt(4 − 3y) (или наоборот).