Напомни все формулы совместной производительности

Вы имеете в виду «совместную вероятность»? Формул для совместной вероятности встречается очень часто в математике и статистике. Ниже приведён полный обзор основных формул для дискретной и непрерывной совместной вероятности, чтобы можно было быстро освежить материал на занятиях. 1) Общие понятия - Совместная вероятность (дискретные переменные): P(X = x_i, Y = y_j). - Совместная плотность (непрерывные переменные): f_{X,Y}(x,y). - Совместная функция распределения: F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y). 2) Дискретные переменные - Совместная вероятность: P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}. - Маргинальные вероятности: - P(X = x_i) = ∑_j p_{ij} - P(Y = y_j) = ∑_i p_{ij} - Условная вероятность: - P(X = x_i | Y = y_j) = P(X = x_i, Y = y_j) / P(Y = y_j), при P(Y = y_j) > 0 - P(Y = y_j | X = x_i) = P(X = x_i, Y = y_j) / P(X = x_i), при P(X = x_i) > 0 - Правило простой цепи (закон разложения): - P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i | Y = y_j) P(Y = y_j) = P(Y = y_j | X = x_i) P(X = x_i) - Независимость: - X и Y независимы ⇔ P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) P(Y = y_j) для всех i, j - При независимости P(X = x_i | Y = y_j) = P(X = x_i) - Закон полной вероятности (для дискретной системы A_i, образующая разбиение): - P(B) = ∑_i P(B | A_i) P(A_i) 3) Непрерывные переменные - Совместная плотность: f_{X,Y}(x,y) ≥ 0, ∫∫ f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1 - Маргинальные плотности: - f_X(x) = ∫_{-∞}^{∞} f_{X,Y}(x,y) dy - f_Y(y) = ∫_{-∞}^{∞} f_{X,Y}(x,y) dx - Условная плотность: - f_{X|Y}(x|y) = f_{X,Y}(x,y) / f_Y(y), если f_Y(y) > 0 - f_{Y|X}(y|x) = f_{X,Y}(x,y) / f_X(x), если f_X(x) > 0 - Закон полной вероятности (непрерывная форма): - P(B) = ∫ P(B|A) dP(A) → в непрерывном виде заменяется на интеграцию по нужной переменной - Практически: P(B) = ∫ I_B(a) f_A(a) da, где A — дискретная/непрерывная часть задачи - Связь с совместной функцией распределения: - F_{X,Y}(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) - Связь с плотностью: f_{X,Y}(x,y) = ∂^2/∂x∂y F_{X,Y}(x,y) - Независимость: - X и Y независимы ⇔ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) для всех x,y - Также F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y) при независимости 4) Ожидания и ковариации (часто применяются вместе с формулами совместного распределения) - Ожидания: - E[X] = ∑_i x_i P(X = x_i) (для дискретных) - E[Y] = ∑_j y_j P(Y = y_j) - Для непрерывных: E[X] = ∫ x f_X(x) dx, E[Y] = ∫ y f_Y(y) dy - В общем виде: E[g(X,Y)] = ∬ g(x,y) f_{X,Y}(x,y) dx dy - Математическое ожидание совместной пары: - μ_X = E[X], μ_Y = E[Y] - Дисперсия и ковариация: - Cov(X,Y) = E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)] - Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y), где σ_X^2 = Var(X), σ_Y^2 = Var(Y) - Если X и Y независимы, Cov(X,Y) = 0, и f_{X,Y} = f_X f_Y. 5) Дополнительные заметки (часто полезны на занятиях) - Совместная функция распределения может быть использована для нахождения любых вероятностей через диапасоны X и Y: - P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F_{X,Y}(b,d) − F_{X,Y}(a,d) − F_{X,Y}(b,c) + F_{X,Y}(a,c) - Для независимых непрерывных переменных: F_{X,Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y). - Бэйсовские формулы в контексте совместной вероятности: - P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B), где P(B) = ∑_i P(B|A_i) P(A_i) для дискретного разбиения. Если вы имели в виду не совместную вероятность, а другое понятие (например, «совместная производительность» в экономике или матрицах совместной продуктивности), дайте знать — подскажу нужный набор формул именно под это направление. Можете подтвердить, что речь идёт именно о совместной вероятности, и указать класс/уровень (для адаптации объяснений)? Также могу привести короткие примеры задач с решениями, чтобы материал лучше зашёл.