биссектриса угла А паллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК=15 см, КС=9см

Решение для цели «Понять».

Даны: параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. BK = 15 см, KC = 9 см.

1. Вычислим стороны параллелограмма.

• BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
• В параллелограмме BC = AD, значит AD = BC = 24 см.
• Периметр P параллелограмма: P = 2(AB + BC). Нужно найти AB.

2. Применим координатный подход.

• Пусть A = O = (0,0). Примем AB = вектор u = (b, 0), где b = AB (неизвестно).
• Вектор AD = v = (a, h) имеет длину 24: |v| = sqrt(a^2 + h^2) = 24.
• Тогда B = (b, 0), D = (a, h), C = B + v = (b + a, h).
• Сторона BC — это вектор v, поэтому BC параметризуется как K = B + s v, где s = BK/BC = 15/24 = 5/8.

3. Направление биссекции угла A.

• Вектор AB имеет длину |AB| = b, поэтому единичный вектор вдоль AB: u/|u| = (1, 0).
• Единичный вектор вдоль AD: v/|v| = (a/24, h/24).
• Направление биссектрисы AK пропорционально сумме этих единичных векторов: w = (1, 0) + (a/24, h/24) = (1 + a/24, h/24).

4. Точка K лежит на прямой AK, значит существuет параметр t > 0 такое, что K = t w.

С другой стороны, по определению K = B + s v = (b, 0) + (5/8)(a, h) = (b + (5/8)a, (5/8)h).

Следовательно:

• по y-координатам: t (h/24) = (5/8) h. Если h ≠ 0, то t/24 = 5/8, значит t = 24 · 5/8 = 15.
• по x-координатам: t(1 + a/24) = b + (5/8)a. Подставим t = 15: 15(1 + a/24) = b + (5/8)a → 15 + (15/24)a = b + (5/8)a. Так как (15/24) = (5/8), получаем 15 + (5/8)a = b + (5/8)a → b = 15.

Отсюда AB = b = 15 см, BC = 24 см.

5. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 2 · 39 = 78 см.

Ответ: 78 см.