Найди корень из 5 по методу бахшали

Задача: найти корень из 5 по методу Бахшали. Кратко о методе - Выбираем близкое к числу 5 целое число a такое, чтобы a^2 было близко к 5. Обычно берут a = 2, потому что 2^2 = 4. - Обозначим d = N − a^2. В нашем случае N = 5, a^2 = 4, поэтому d = 1. - Формула Бахшали даёт приближение sqrt(N) через разложение по степеням d: sqrt(N) ≈ a + d/(2a) − d^2/(8a^3) + d^3/(16a^5) − 5 d^4/(128 a^7) + ... Это фактически первые члены разложения sqrt(a^2 + d) = a sqrt(1 + d/a^2) по биномиальному разложению sqrt(1 + x). Пошаговое решение для sqrt(5) 1) Выбор a и d - Выбираем a = 2 (близко к sqrt(5), 2^2 = 4). - d = 5 − 2^2 = 1. 2) Подстановка в формулу (до нужной точности) - sqrt(5) ≈ a + d/(2a) − d^2/(8a^3) + d^3/(16a^5) − 5 d^4/(128 a^7) 3) Вычисления по порядку - a = 2 - d/(2a) = 1/(2·2) = 1/4 = 0.25 - − d^2/(8 a^3) = −1/(8 · 2^3) = −1/ (8 · 8) = −1/64 = −0.015625 - + d^3/(16 a^5) = 1/(16 · 2^5) = 1/ (16 · 32) = 1/512 ≈ 0.001953125 - − 5 d^4/(128 a^7) = −5/(128 · 2^7) = −5/ (128 · 128) = −5/16384 ≈ −0.00030517578125 4) Суммирование - Сумма = 2 + 0.25 − 0.015625 + 0.001953125 − 0.00030517578125 - = 2.23602294921875 5) Результат - Приближённое значение sqrt(5) по методу Бахшали: примерно 2.23602294921875. - Округленно: sqrt(5) ≈ 2.23602 (до пяти знаков после запятой). Сравнение с действительным значением - Истинное sqrt(5) = 2.23606797749979… - Разница примерно 0.000045 (около 4.5·10^−5), что очень близко и подтверждает точность метода на этом примере. Дополнительно - Если взять только первые три члена (a + d/(2a) − d^2/(8a^3)) получится 2.234375, т.е. менее точное приближение. - Добавление четвертого и пятого членов улучшает точность до порядка 10^−5 и лучше. Итог - Корень из 5 по методу Бахшали ≈ 2.23602294921875 (с учётом пяти слагаемых). - Это хорошая аппроксимация, ближе к рественному значению 2.236067977... чем простое приближение 2.236.