найди корень из 5 по методу бахшали

Задача: найти корень из 5 по методу Бахшали.

Кратко о методе

• Выбираем близкое к числу 5 целое число a такое, чтобы a^2 было близко к 5. Обычно берут a = 2, потому что 2^2 = 4.
• Обозначим d = N − a^2. В нашем случае N = 5, a^2 = 4, поэтому d = 1.
• Формула Бахшали даёт приближение sqrt(N) через разложение по степеням d: sqrt(N) ≈ a + d/(2a) − d^2/(8a^3) + d^3/(16a^5) − 5 d^4/(128 a^7) + ... Это фактически первые члены разложения sqrt(a^2 + d) = a sqrt(1 + d/a^2) по биномиальному разложению sqrt(1 + x).

Пошаговое решение для sqrt(5)

1. Выбор a и d

• Выбираем a = 2 (близко к sqrt(5), 2^2 = 4).
• d = 5 − 2^2 = 1.

2. Подстановка в формулу (до нужной точности)

• sqrt(5) ≈ a + d/(2a) − d^2/(8a^3) + d^3/(16a^5) − 5 d^4/(128 a^7)

3. Вычисления по порядку

• a = 2
• d/(2a) = 1/(2·2) = 1/4 = 0.25
• − d^2/(8 a^3) = −1/(8 · 2^3) = −1/ (8 · 8) = −1/64 = −0.015625
• • d^3/(16 a^5) = 1/(16 · 2^5) = 1/ (16 · 32) = 1/512 ≈ 0.001953125
• − 5 d^4/(128 a^7) = −5/(128 · 2^7) = −5/ (128 · 128) = −5/16384 ≈ −0.00030517578125

4. Суммирование

• Сумма = 2 + 0.25 − 0.015625 + 0.001953125 − 0.00030517578125
• = 2.23602294921875

5. Результат

• Приближённое значение sqrt(5) по методу Бахшали: примерно 2.23602294921875.
• Округленно: sqrt(5) ≈ 2.23602 (до пяти знаков после запятой).

Сравнение с действительным значением

• Истинное sqrt(5) = 2.23606797749979…
• Разница примерно 0.000045 (около 4.5·10^−5), что очень близко и подтверждает точность метода на этом примере.

Дополнительно

• Если взять только первые три члена (a + d/(2a) − d^2/(8a^3)) получится 2.234375, т.е. менее точное приближение.
• Добавление четвертого и пятого членов улучшает точность до порядка 10^−5 и лучше.

Итог

• Корень из 5 по методу Бахшали ≈ 2.23602294921875 (с учётом пяти слагаемых).
• Это хорошая аппроксимация, ближе к рественному значению 2.236067977... чем простое приближение 2.236.