1.5. Постройте график уравнения: 1) 3xy = 5 3) y(x + 1) = - 3 5) y = |x ² - 4|

Ниже подробное решение и план построения графиков для каждого уравнения. Цель “Понять” выполнена через пошаговые объяснения и примеры точек.

1. Уравнение 3xy = 5

• Перепишем как y = 5/(3x). Область определения: x ≠ 0.
• Тип графика: гипербола вида y = k/x. Асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0. График располагается в квадрантах I и III (при x > 0 получается y > 0; при x < 0 – y < 0).
• Точки для примера:
  • При x = 1: y = 5/3 ≈ 1.67 → (1, 1.67)
  • При x = -1: y = -5/3 ≈ -1.67 → (-1, -1.67)
• Пересечения:
  • x-пересечения отсутствуют (y не может быть 0).
  • y-пересечения отсутствуют (x не может быть 0).
• Как построить:
  • начертите оси.
  • отметьте точку (1, 5/3) и симметричную влево (-1, -5/3).
  • постройте две ветви гиперболы, подходящие к оси: к ним стремится y → ∞ при x → 0+, y → 0+ при x → ∞ и аналогично в другой ветви.
• Кратко: график гиперболы с вертикальной и горизонтальной асимптотами, две ветви в I и III квадрантах.

2. Уравнение y(x + 1) = -3

• Перепишем как y = -3/(x + 1). Область определения: x ≠ -1.
• Тип графика: гипербола вида y = a/(x − x0) с переносом центра в точку (-1, 0). Асимптоты: вертикальная x = -1 и горизонтальная y = 0. Центр графика в точке (-1, 0).
• Границы по квадрантам:
  • Если x > -1, то знаменатель положительный → y отрицателен → ветвь в четвертой четверти.
  • Если x < -1, то знаменатель отрицательный → y положителен → ветвь в второй четверти.
• Точки для примера:
  • x = 0: y = -3/(0+1) = -3 → (0, -3)
  • x = -2: y = -3/(-2+1) = -3/(-1) = 3 → (-2, 3)
  • x = -3: y = -3/(-3+1) = -3/(-2) = 1.5 → (-3, 1.5)
  • x = 2: y = -3/(2+1) = -1 → (2, -1)
• Пересечения:
  • x-пересечение отсутствует (y не может быть 0).
  • y-пересечение при x = 0 даёт y = -3 → точка (0, -3).
• Как построить:
  • нарисуйте асимптоты x = -1 и y = 0.
  • отметьте точки, например (-3, 1.5) и (-2, 3) слева от x = -1, а также (0, -3) и (2, -1) справа.
  • проведите две ветви гиперболы, approaching асимптотами и расходящиеся в противоположных квадрантах.
• Кратко: график гиперболы с центром в (-1, 0), ветви в II и IV квадрантах, обе ветви расходятся к бесконечности.

3. y = |x^2 − 4|

• Разобьем по модулю:
  • Для |x| ≤ 2: y = 4 − x^2 (это вогнутая парабола, вершина в (0, 4)).
  • Для |x| ≥ 2: y = x^2 − 4 (это выпуклая парабола, через точки (-2, 0) и (2, 0)).
• Сведение к графику:
  • Ветви при x ∈ [−2, 2] образуют вверх смотрящую вершину параболы с максимумом в точке (0, 4).
  • За пределами диапазона, y возрастает как парабола y = x^2 − 4, начинаясь с точек (-2, 0) и (2, 0).
• Точки для примера:
  • x = -3: y = |9 − 4| = 5
  • x = -2: y = |4 − 4| = 0
  • x = -1: y = |1 − 4| = 3
  • x = 0: y = |0 − 4| = 4
  • x = 1: y = |1 − 4| = 3
  • x = 2: y = |4 − 4| = 0
  • x = 3: y = |9 − 4| = 5
• Пересечения и границы:
  • x-пересечения: y = 0 там, где x^2 − 4 = 0 → x = ±2.
  • y-пересечение: при x = 0, y = 4.
  • диапазон значений: y ≥ 0, т. е. y ∈ [0, ∞).
• Как построить:
  • начертите две ветви параболы:
    • участок между -2 и 2 с вершиной в (0, 4) (первая часть: y = 4 − x^2),
    • участки за пределами [-2, 2] с возрастающей вверх параболой y = x^2 − 4.
  • точки (−2, 0) и (2, 0) соединяют две ветви ровно.
• Кратко: график напоминает букву «W» без нижних частей — центральная вогнутая часть сверху, внешние части — параболы, уходящие вверх; минимумы y = 0 в x = ±2, максимум в центре при x = 0, y = 4.

Коротко об итогах по графикам:

• 3xy = 5: гипербола с асимптотами x = 0 и y = 0; ветви в I и III квадрантах.
• y(x + 1) = -3: гипербола с асимптотами x = -1 и y = 0; ветви в II и IV квадрантах.
• y = |x^2 − 4|: график состоит из двух парабол, образующих центральную вершину в (0, 4) и «ножки» на y = 0 в x = ±2; диапазон y неотрицателен.

Если хотите, могу привести готовые таблицы точек для плотной раскладки на бумаге или сгенерировать простой чертёж для запоминания. Также могу подсказать, как выполнить построение в любом графическом калькуляторе или на онлайн-доске.