1.5. Постройте график уравнения: 1) 3xy = 5 3) y(x + 1) = - 3 5) y = |x ² - 4|

Ниже подробное решение и план построения графиков для каждого уравнения. Цель “Понять” выполнена через пошаговые объяснения и примеры точек. 1) Уравнение 3xy = 5 - Перепишем как y = 5/(3x). Область определения: x ≠ 0. - Тип графика: гипербола вида y = k/x. Асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0. График располагается в квадрантах I и III (при x > 0 получается y > 0; при x < 0 – y < 0). - Точки для примера: - При x = 1: y = 5/3 ≈ 1.67 → (1, 1.67) - При x = -1: y = -5/3 ≈ -1.67 → (-1, -1.67) - Пересечения: - x-пересечения отсутствуют (y не может быть 0). - y-пересечения отсутствуют (x не может быть 0). - Как построить: - начертите оси. - отметьте точку (1, 5/3) и симметричную влево (-1, -5/3). - постройте две ветви гиперболы, подходящие к оси: к ним стремится y → ∞ при x → 0+, y → 0+ при x → ∞ и аналогично в другой ветви. - Кратко: график гиперболы с вертикальной и горизонтальной асимптотами, две ветви в I и III квадрантах. 2) Уравнение y(x + 1) = -3 - Перепишем как y = -3/(x + 1). Область определения: x ≠ -1. - Тип графика: гипербола вида y = a/(x − x0) с переносом центра в точку (-1, 0). Асимптоты: вертикальная x = -1 и горизонтальная y = 0. Центр графика в точке (-1, 0). - Границы по квадрантам: - Если x > -1, то знаменатель положительный → y отрицателен → ветвь в четвертой четверти. - Если x < -1, то знаменатель отрицательный → y положителен → ветвь в второй четверти. - Точки для примера: - x = 0: y = -3/(0+1) = -3 → (0, -3) - x = -2: y = -3/(-2+1) = -3/(-1) = 3 → (-2, 3) - x = -3: y = -3/(-3+1) = -3/(-2) = 1.5 → (-3, 1.5) - x = 2: y = -3/(2+1) = -1 → (2, -1) - Пересечения: - x-пересечение отсутствует (y не может быть 0). - y-пересечение при x = 0 даёт y = -3 → точка (0, -3). - Как построить: - нарисуйте асимптоты x = -1 и y = 0. - отметьте точки, например (-3, 1.5) и (-2, 3) слева от x = -1, а также (0, -3) и (2, -1) справа. - проведите две ветви гиперболы, approaching асимптотами и расходящиеся в противоположных квадрантах. - Кратко: график гиперболы с центром в (-1, 0), ветви в II и IV квадрантах, обе ветви расходятся к бесконечности. 3) y = |x^2 − 4| - Разобьем по модулю: - Для |x| ≤ 2: y = 4 − x^2 (это вогнутая парабола, вершина в (0, 4)). - Для |x| ≥ 2: y = x^2 − 4 (это выпуклая парабола, через точки (-2, 0) и (2, 0)). - Сведение к графику: - Ветви при x ∈ [−2, 2] образуют вверх смотрящую вершину параболы с максимумом в точке (0, 4). - За пределами диапазона, y возрастает как парабола y = x^2 − 4, начинаясь с точек (-2, 0) и (2, 0). - Точки для примера: - x = -3: y = |9 − 4| = 5 - x = -2: y = |4 − 4| = 0 - x = -1: y = |1 − 4| = 3 - x = 0: y = |0 − 4| = 4 - x = 1: y = |1 − 4| = 3 - x = 2: y = |4 − 4| = 0 - x = 3: y = |9 − 4| = 5 - Пересечения и границы: - x-пересечения: y = 0 там, где x^2 − 4 = 0 → x = ±2. - y-пересечение: при x = 0, y = 4. - диапазон значений: y ≥ 0, т. е. y ∈ [0, ∞). - Как построить: - начертите две ветви параболы: - участок между -2 и 2 с вершиной в (0, 4) (первая часть: y = 4 − x^2), - участки за пределами [-2, 2] с возрастающей вверх параболой y = x^2 − 4. - точки (−2, 0) и (2, 0) соединяют две ветви ровно. - Кратко: график напоминает букву «W» без нижних частей — центральная вогнутая часть сверху, внешние части — параболы, уходящие вверх; минимумы y = 0 в x = ±2, максимум в центре при x = 0, y = 4. Коротко об итогах по графикам: - 3xy = 5: гипербола с асимптотами x = 0 и y = 0; ветви в I и III квадрантах. - y(x + 1) = -3: гипербола с асимптотами x = -1 и y = 0; ветви в II и IV квадрантах. - y = |x^2 − 4|: график состоит из двух парабол, образующих центральную вершину в (0, 4) и «ножки» на y = 0 в x = ±2; диапазон y неотрицателен. Если хотите, могу привести готовые таблицы точек для плотной раскладки на бумаге или сгенерировать простой чертёж для запоминания. Также могу подсказать, как выполнить построение в любом графическом калькуляторе или на онлайн-доске.