Маша и Витя играют в конструктор. У Маши есть только блоки 1 × 2,1 × 3 и 1 × 5 (очень много блоков каждого вида), а у Вити только 1 х 4, 1 × 5 и 1 × 7 (тоже очень много блоков…
Маша и Витя играют в конструктор. У Маши есть только блоки 1 × 2,1 × 3 и 1 × 5 (очень много блоков каждого вида), а у Вити только 1 х 4, 1 × 5 и 1 × 7 (тоже очень много блоков каждого вида). Родители дали ребятам задание: каждый должен сложить из своих блоков полоску 1 × 16, при этом Маша должна использовать на 4 блока больше, чем Витя. Сколькими способами ребята могут выполнить задание?
Задача решается раздельно для Маши и Вити: нужно посчитать количество способов составить 1×16 полоску своими блоками, а затем учесть условие, что число блоков у Маши на 4 больше, чем у Вити. Способов у Маши и у Вити независимо, поэтому общее число способов равно произведению по подходящим парам и затем сумме таких произведений.
- Машa: блоки 1×2, 1×3, 1×5. Пусть a, b, c — количества блоков 2, 3 и 5 соответственно. Выпишем сумму длины: 2a + 3b + 5c = 16 Для каждой тройки (a, b, c) число расположений равно k!/(a! b! c!), где k = a + b + c.
Перечислим решения и количество расстановок:
- (a,b,c) = (2,4,0): k=6, количество = 6!/(2!4!) = 15
- (5,2,0): k=7, количество = 7!/(5!2!) = 21
- (8,0,0): k=8, количество = 8!/(8!) = 1
- (1,3,1): k=5, количество = 5!/(1!3!1!) = 20
- (4,1,1): k=6, количество = 6!/(4!1!1!) = 30
- (0,2,2): k=4, количество = 4!/(0!2!2!) = 6
- (3,0,2): k=5, количество = 5!/(3!0!2!) = 10
Итог по Маше (расставить в сумме по k):
- k=4: 6 вариантов
- k=5: 20 + 10 = 30 вариантов
- k=6: 15 + 30 = 45 вариантов
- k=7: 21 вариантов
- k=8: 1 вариант
Всего для Маши: 103 расстановки.
- Витя: блоки 1×4, 1×5, 1×7. Пусть d, e, f — количества 4, 5 и 7 соответственно. Сумма длины: 4d + 5e + 7f = 16 Перебираем возможные f:
f = 0: 4d + 5e = 16
- e = 0 → d = 4: (d,e,f) = (4,0,0). k = 4, расстановок = 4!/(4!) = 1
- остальные варианты не целые.
f = 1: 4d + 5e = 9
- e = 1 → 4d = 4 → d = 1: (1,1,1). k = 3, расстановок = 3!/(1!1!1!) = 6
- другие варианты не целые.
f = 2 или больше даёт противоречие (длины уже превышают 16).
Итак, у Вити две конфигурации:
- k = 3: 6 расстановок
- k = 4: 1 расстановка
- Совместно: условие задачи — Маше нужно использовать на 4 блока больше, чем Витя. Пусть k_V — число блоков Вити, k_M — число блоков Маши. Нужно k_M = k_V + 4.
Из данных выше возможны пары:
- k_V = 3 и k_M = 7: количество пар = (Витя с k=3) × (Маша с k=7) = 6 × 21 = 126
- k_V = 4 и k_M = 8: количество пар = (Витя с k=4) × (Маша с k=8) = 1 × 1 = 1
Сумма всех подходящих пар: 126 + 1 = 127.
Ответ: 127 способов.
