Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60 deg . Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Задача по геометрии цилиндра. Обозначим: - высоту цилиндра h (см), - радиус основания r (см). Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами h и 2r. Диагональ этого прямоугольника равна 48 см: d^2 = h^2 + (2r)^2 = 48^2 = 2304. (1) Угол между диагональю и образующей цилиндра (проведём вдоль высоты, то есть по вертикали) равен 60°. Тогда в этом прямоугольнике тангенс-angle между диагональю и вертикальной стороны равен: tan 60° = (противолежащая сторона) / (прилежащая сторона) = (2r) / h. tan 60° = √3, значит 2r = h√3. (2) Из (1) и (2): (2r)^2 = (h√3)^2 = 3h^2, поэтому h^2 + (2r)^2 = h^2 + 3h^2 = 4h^2 = 2304. Отсюда h^2 = 576 → h = 24 см. Тогда r = (h√3)/2 = (24√3)/2 = 12√3 см ≈ 20.8 см. Площадь основания цилиндра S_base = πr^2 = π(12√3)^2 = 432π см^2 ≈ 1357 см^2. Ответы: a) высота цилиндра: 24 см b) радиус цилиндра: 12√3 см ≈ 20.8 см c) площадь основания цилиндра: 432π см^2 ≈ 1357 см^2