(x-4)(3x²+x)>0

Задача: (x − 4)(3x² + x) > 0

Цель: понять решение по шагам.

Шаг 1. Разложение на множители 3x² + x = x(3x + 1) Итого выражение превращается в (x − 4) · x · (3x + 1) > 0

Шаг 2. Найдём нули каждого множителя x − 4 = 0 → x = 4 x = 0 3x + 1 = 0 → x = −1/3

Ключевые точки: x = −1/3, x = 0, x = 4. Эти точки разбивают вещественную ось на четыре интервала: (−∞, −1/3), (−1/3, 0), (0, 4), (4, ∞)

Шаг 3. Определим знак произведения в каждом интервале Зададим знаки каждого множителя:

• x: отрицателен на (−∞, 0), положителен на (0, ∞)
• x − 4: отрицателен на (−∞, 4), положителен на (4, ∞)
• 3x + 1: отрицателен на (−∞, −1/3), положителен на (−1/3, ∞)

Теперь по интервалам:

1. x ∈ (−∞, −1/3): знаки x(−), x−4(−), 3x+1(−) → произведение: (−)·(−)·(−) = −
2. x ∈ (−1/3, 0): x(−), x−4(−), 3x+1(+ ) → произведение: (−)·(−)·(+) = +
3. x ∈ (0, 4): x(+), x−4(−), 3x+1(+ ) → произведение: (+)·(−)·(+) = −
4. x ∈ (4, ∞): x(+), x−4(+), 3x+1(+ ) → произведение: (+)·(+)·(+) = +

Шаг 4. Запишем решение Так как неравенство строгое (> 0), точки нулей не включаем.

Решение: x ∈ (−1/3, 0) ∪ (4, ∞)

Проверка (пояснение): подставляли тестовые точки в каждом интервале и получали соответствующий знак произведения, что совпадает с выводом выше.