Задача: (x − 4)(3x² + x) > 0
Цель: понять решение по шагам.
Шаг 1. Разложение на множители
3x² + x = x(3x + 1)
Итого выражение превращается в
(x − 4) · x · (3x + 1) > 0
Шаг 2. Найдём нули каждого множителя
x − 4 = 0 → x = 4
x = 0
3x + 1 = 0 → x = −1/3
Ключевые точки: x = −1/3, x = 0, x = 4. Эти точки разбивают вещественную ось на четыре интервала:
(−∞, −1/3), (−1/3, 0), (0, 4), (4, ∞)
Шаг 3. Определим знак произведения в каждом интервале
Зададим знаки каждого множителя:
- x: отрицателен на (−∞, 0), положителен на (0, ∞)
- x − 4: отрицателен на (−∞, 4), положителен на (4, ∞)
- 3x + 1: отрицателен на (−∞, −1/3), положителен на (−1/3, ∞)
Теперь по интервалам:
1) x ∈ (−∞, −1/3): знаки x(−), x−4(−), 3x+1(−) → произведение: (−)·(−)·(−) = −
2) x ∈ (−1/3, 0): x(−), x−4(−), 3x+1(+ ) → произведение: (−)·(−)·(+) = +
3) x ∈ (0, 4): x(+), x−4(−), 3x+1(+ ) → произведение: (+)·(−)·(+) = −
4) x ∈ (4, ∞): x(+), x−4(+), 3x+1(+ ) → произведение: (+)·(+)·(+) = +
Шаг 4. Запишем решение
Так как неравенство строгое (> 0), точки нулей не включаем.
Решение: x ∈ (−1/3, 0) ∪ (4, ∞)
Проверка (пояснение): подставляли тестовые точки в каждом интервале и получали соответствующий знак произведения, что совпадает с выводом выше.
