пользуясь торжеством, а²-b²=(а + b)²( а-b)² разложите на множители: 1. a½-b½=? 2.y⅔-1=?

Задача: разложить на множители с использованием тождества разности квадратов.

1. Выражение √a − √b

• Пусть A = √a и B = √b. Тогда A^2 − B^2 = a − b и по тождеству разности квадратов (A^2 − B^2) = (A − B)(A + B).
• Отсюда A − B = (A^2 − B^2) / (A + B) = (a − b) / (√a + √b).

Итак, разложение: √a − √b = (a − b) / (√a + √b), при условии, что выражение определено (а и b неотрицательны; при a = b = 0 данное представление не подходит из-за деления на 0, в общем случае задача остаётся верной для хотя бы одного из a, b положительного).

Проверка-пример: пусть a = 9, b = 4. Тогда √9 − √4 = 3 − 2 = 1, а (a − b)/(√a + √b) = (9 − 4)/(3 + 2) = 5/5 = 1. Works.

2. Выражение y^(2/3) − 1

• Обозначим t = y^(1/3). Тогда t^2 − 1 = (t − 1)(t + 1) по тождеству разности квадратов.
• Возвращаясь к y, получаем: y^(2/3) − 1 = (y^(1/3) − 1)(y^(1/3) + 1).

Это и есть разложение на множители. Пример проверки: y = 8. Левый: 8^(2/3) − 1 = 4 − 1 = 3. Правый: (8^(1/3) − 1)(8^(1/3) + 1) = (2 − 1)(2 + 1) = 1·3 = 3. Соответствует.

Дополнительные примечания:

• В первом пункте можно рассматривать формулу как рационализацию разности квадратов: через (√a + √b) в знаменателе.
• Во втором пункте можно дальше рассмотреть факторизацию в зависимости от того, как глубоко вы хотите уходить в алгебраические преобразования (на чистые полиномы в y это преобразование не даёт прямой рациональной дробной факторизации без введения корня кубического).