Сколько корней имееет квадратный трехчлен

Задача просит определить число корней квадратного трехчлена (обычно речь идёт о действительных корнях).

Метод: для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 число действительных корней определяется дискриминантом D = b^2 − 4ac:

• D > 0: два различных реальных корня
• D = 0: один действительный корень (кратный)
• D < 0: действительных корней нет (есть два комплексных корня)

Рассмотрим каждое выражение из задания.

a) 3x^2 − 8x + 2

• a = 3, b = −8, c = 2
• D = (−8)^2 − 4·3·2 = 64 − 24 = 40 > 0
• Значит: два действительных корня
• Корни: x = [8 ± √40] / (2·3) = [8 ± 2√10] / 6 = (4 ± √10) / 3

Ответ: 2 действительных корня. Примеры корней: x1 = (4 − √10)/3, x2 = (4 + √10)/3.

b) −(1/2) y^2 + 6y − 18

• Уравнение можно умножить на −2 (не меняя корней): y^2 − 12y + 36 = 0
• D = (−12)^2 − 4·1·36 = 144 − 144 = 0
• Значит: один действительный корень (кратный)
• Корень: y = 12 / 2 = 6

Ответ: 1 действительный корень (повторный): y = 6.

c) m^2 − 3m + 3

• a = 1, b = −3, c = 3
• D = (−3)^2 − 4·1·3 = 9 − 12 = −3 < 0
• Значит: действительных корней нет (есть два комплексных).

Ответ: 0 действительных корней (есть два комплексных корня: (3 ± i√3)/2).

Итого:

• а) 2 действительных корня; корни: (4 ± √10)/3
• б) 1 действительный корень (повторный): y = 6
• в) 0 действительных корней (два комплексных): (3 ± i√3)/2