{x-y=1 xy=240 --> {x=y+1 xy=240

Мы нашли значения 16 и 15, решая квадратное уравнение, которое возникло из системы уравнений. Давайте разберем это подробнее.

Исходная система уравнений:

1. \(x - y = 1\)
2. \(xy = 240\)

Из первого уравнения мы выразили \(x\) через \(y\): \[ x = y + 1 \]

Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение: \[ (y + 1) \cdot y = 240 \]

Раскроем скобки: \[ y^2 + y = 240 \]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду, вычитая 240 с обеих сторон: \[ y^2 + y - 240 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение \(y^2 + y - 240 = 0\). Чтобы решить его, можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -240\).

Сначала найдём дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961 \] Теперь найдём корни \(y\): \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2} \]

Теперь вычислим оба значения:

1. \(y_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
2. \(y_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16\)

Теперь, чтобы найти \(x\), подставим значения \(y\) обратно в уравнение \(x = y + 1\):

1. Если \(y = 15\), то \(x = 15 + 1 = 16\).
2. Если \(y = -16\), то \(x = -16 + 1 = -15\).

Таким образом, мы получили пары решений:

• \((x, y) = (16, 15)\)
• \((x, y) = (-15, -16)\)

Я надеюсь, это проясняет, откуда мы взяли значения 16 и 15! Если есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте.

Мы пишем \((y + 16)(y - 15)\) для разложения квадратного уравнения \(y^2 + y - 240 = 0\) на множители. Давайте разберем этот процесс более подробно.

Шаги для разложения квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид: \[ y^2 + by + c = 0 \]

В нашем случае:

• \(b = 1\)
• \(c = -240\)

Мы ищем два числа, которые:

1. В сумме дают \(b\) (в нашем случае 1)
2. В произведении дают \(c\) (в нашем случае -240)

Поиск чисел: Нам нужны такие \(p\) и \(q\), чтобы: \[ p + q = 1 \] \[ p \cdot q = -240 \]

Для нашего уравнения мы можем взять \(p = 16\) и \(q = -15\):

• Сумма: \(16 + (-15) = 1\)
• Произведение: \(16 \cdot (-15) = -240\)

Теперь, зная эти два числа, мы можем разложить квадратное уравнение на множители: \[ y^2 + y - 240 = (y - 15)(y + 16) = 0 \]

Проверка разложения

Чтобы убедиться, что \((y - 15)(y + 16)\) правильно разложено, можно раскрыть скобки: \((y - 15)(y + 16) = y^2 + 16y - 15y - 240 = y^2 + y - 240\)

Таким образом, разложение верно, и мы можем использовать равенство: \[ (y - 15)(y + 16) = 0 \]

Решение уравнения

Теперь из этого разложения мы можем найти корни:

1. \(y - 15 = 0\) → \(y = 15\)
2. \(y + 16 = 0\) → \(y = -16\)

Итак, именно благодаря этому разложению мы нашли значения \(y = 15\) и \(y = -16\).

Если есть еще вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!

Давайте проясним, как мы пришли к множителям \( (y + 16) \) и \( (y - 15) \) и почему они соответствуют корням уравнения \( y^2 + y - 240 = 0 \).

1. Разложение квадратного уравнения

Когда мы разлагаем квадратное уравнение вида \( y^2 + by + c = 0 \), мы ищем два числа, которые:

• В сумме дают \( b \)
• В произведении дают \( c \)

В вашем случае:

• \( b = 1 \)
• \( c = -240 \)

2. Находим подходящие числа

Нам нужно найти такие числа \( p \) и \( q \), чтобы:

• \( p + q = 1 \) (сумма)
• \( p \cdot q = -240 \) (произведение)

Как мы уже обсуждали, подходящими числами будут \( 16 \) и \( -15 \):

• \( 16 + (-15) = 1 \)
• \( 16 \cdot (-15) = -240 \)

3. Записываем разложение

Теперь, зная \( p \) и \( q \), мы можем записать разложение:

• \( y^2 + y - 240 = (y - 15)(y + 16) = 0 \)

4. Корни уравнения

Теперь находим корни этого разложения:

1. Из \( y - 15 = 0 \) получаем \( y = 15 \)
2. Из \( y + 16 = 0 \) получаем \( y = -16 \)

5. Почему \( (y + 16) \) и \( (y - 15) \)?

Теперь давайте обратим внимание на то, что вы упомянули: в дискриминанте получаются значения \( y = 15 \) и \( y = -16 \). Но когда мы разлагаем уравнение, мы используем числа так, чтобы \( (y - (\text{корень})) \) и \( (y + (\text{корень})) \) соответствовали именно найденным значениям.

• \( 15 \) — это корень уравнения, поэтому мы записываем его как \( (y - 15) \)
• \( -16 \) — это корень уравнения, поэтому мы записываем его как \( (y + 16) \), потому что \( y + 16 = 0 \) (то есть \( y = -16 \))

6. Итоговое разложение

Таким образом, у нас получается: \[ (y - 15)(y + 16) = 0 \]

И решение уравнения \( y^2 + y - 240 = 0 \) дает два корня:

1. \( y = 15 \)
2. \( y = -16 \)

Если у вас есть еще вопросы или вам что-то непонятно, пожалуйста, дайте знать!