Реши через дискриминанта

Задача: решить неравенство (x + 6) (x − 9) (x + 1) ≤ 0 через дискриминант. Шаг 1. Раскрываем скобки и получаем многочлен P(x) = (x + 6)(x − 9)(x + 1) = x^3 − 2x^2 − 57x − 54. Шаг 2. Вычисляем дискриминант кубического многочлена Для кубического ax^3 + bx^2 + cx + d дискриминант Δ = 18abcd − 4b^3d + b^2c^2 − 4ac^3 − 27a^2d^2. Здесь a = 1, b = −2, c = −57, d = −54. Подставляем: - 18abcd = 18·1·(−2)·(−57)·(−54) = −110{,}808 - −4b^3d = −4·(−2)^3·(−54) = −1{,}728 - b^2c^2 = (−2)^2·(−57)^2 = 4·3249 = 12{,}996 - −4ac^3 = −4·1·(−57)^3 = −4·(−185{,}193) = 740{,}772 - −27a^2d^2 = −27·1·(−54)^2 = −78{,}732 Сумма: Δ = −110{,}808 − 1{,}728 + 12{,}996 + 740{,}772 − 78{,}732 = 562{,}500. Δ = 562{,}500 > 0, значит кубический многочлен имеет три разных действительных корня. В нашем случае это корни x = −6, x = −1, x = 9 (многочлен уже раскладывается на линейные множители). Шаг 3. Анализ знаков Корни: −6, −1, 9 (множитель каждой скобки линейный, кратность 1). Промежутки по ним: - x < −6: (x+6) < 0, (x−9) < 0, (x+1) < 0 → произведение отрицательное. - −6 < x < −1: (x+6) > 0, (x−9) < 0, (x+1) < 0 → произведение положительное. - −1 < x < 9: (x+6) > 0, (x−9) < 0, (x+1) > 0 → произведение отрицательное. - x > 9: все факторы положительные → произведение положительное. Значит неравенство ≤ 0 выполняется на тех интервалах, где произведение отрицательно или равно нулю, т.е. на: (-∞, −6] ∪ [−1, 9]. Ответ: x ∈ (-∞, −6] ∪ [−1, 9].