расписать дисперсию для случайной величины Z, равномерно распределённой на отрезке [-3;3]

Задача: дисперсия случайной величины Z, равномерно распределённой на отрезке [-3; 3].

Пусть Z ~ Uniform(a, b) с a = -3, b = 3. Тогда:

• Плотность флуктуации: f(z) = 1/(b − a) = 1/6 на [-3, 3].
• Математическое ожидание: E[Z] = (a + b)/2 = (-3 + 3)/2 = 0.
• М ожидание квадрата: E[Z^2] = ∫{-3}^{3} z^2 f(z) dz = (1/6) ∫{-3}^{3} z^2 dz = (1/6) [z^3/3]_{-3}^{3} = (1/6) * (27/3 - (-27)/3) = (1/6) * 18 = 3.

Дисперсия:

• Var(Z) = E[Z^2] − (E[Z])^2 = 3 − 0^2 = 3.

Дополнительно можно отметить по общей формуле для U(a,b):

• Var(Z) = (b − a)^2 / 12 = (6)^2 / 12 = 36/12 = 3.
• Стандартное отклонение σ = sqrt(Var) = sqrt(3) ≈ 1.732.

Ответ: Var(Z) = 3 (и σ = √3 ≈ 1.732).