Ниже даю подробное решение по двум задачам. Я придерживаюсь стандартной физической модели: без тепловых потерь, теплообмен идёт за счёт взаимного girlfriends масс и теплоёмкостей объектов. Вводные массы и теплоёмкости обозначим так:
- m_w — масса воды в калориметре; c_w — её удельная теплоёмкость.
- m_s — масса одного металлического шарика; c_s — его удельная теплоёмкость.
- t_w0 — начальная температура воды до попадания шарика.
- t1 — температура нагретого шарика (первого).
- t2 — температура каждого из двух шариков, которыми заменяют первый.
- T — искомая установившаяся температура воды после замены.
Задача 1. Формула установившейся температуры воды после двух этапов теплопередачи
- Первый этап: шарик нагретый до t1 опускают в калориметр с водой. После полного установления равновесия вода имеет температуру t0 (упрощённо назовём её T1). При этом тепло теряется одним шариком и переходит воде:
m_s c_s (t1 − T1) = m_w c_w (T1 − t_w0).
Следовательно, установленная температура воды после первого шарика:
T1 = (m_w c_w t_w0 + m_s c_s t1) / (m_w c_w + m_s c_s).
- Второй этап: из калориметра извлекают этот шарик и вместо него кладут два таких же шарика, нагретых до t2. Вода ещё раз приходит в равновесие при новой температуре T2. Теперь в системе участвуют две одинаковые шарики, суммарная теплоёмкость которых m_s c_s × 2. Уравнение теплового баланса:
m_w c_w (T2 − T1) = 2 m_s c_s (t2 − T2).
Отсюда искомая установившаяся температура воды после замены:
T2 = (m_w c_w T1 + 2 m_s c_s t2) / (m_w c_w + 2 m_s c_s).
Итого,
- после первого шарика: T1 = (m_w c_w t_w0 + m_s c_s t1) / (m_w c_w + m_s c_s);
- после замены на два шарика: T2 = (m_w c_w T1 + 2 m_s c_s t2) / (m_w c_w + 2 m_s c_s).
Если же видеть ответ сразу через t_w0, t1 и t2 можно подставить T1 в формулу для T2. Пример числовой подстановки требует конкретных значений m_w, m_s, c_w, c_s; их в условии нет, поэтому привожу общий вид.
Задача 2. Плотность бруска и минимальное число брусков, чтобы коробка утонула
Дано:
- Кубическая открытая коробка со стороной a, площадь основания S = a^2 = 225 cm^2. Значит a = sqrt(225) = 15 cm.
- Внутри лежит брусок объёмом V = 100 cm^3.
- Масса коробки m_k = 200 g.
- Плотность воды ρ_w = 1000 kg/m^3 = 1 g/cm^3.
- Когда брусок достали, коробка поднялась на h = 2 cm.
- Найдём плотность бруска ρ и массу одного бруска m_block.
Дельта объёма воды, который приходится displaced, при удалении одного бруска равна поверхности основания коробки умножить на выигранную высоту: ΔV_sub = S · h = 225 cm^2 × 2 cm = 450 cm^3.
Разница в силах Архимеда до и после извлечения бруска равна весу извлечённого бруска. Следовательно:
ρ_block · V = ρ_w · ΔV_sub.
Отсюда плотность бруска:
ρ = ρ_w · S · h / V = (1 g/cm^3) · (225 cm^2) · (2 cm) / (100 cm^3) = 450 / 100 = 4.5 g/cm^3.
Переведём в более привычные единицы: 4.5 g/cm^3 = 4500 kg/m^3. Соответственно масса одного бруска:
m_block = ρ · V = 4.5 g/cm^3 × 100 cm^3 = 450 g.
- Определяем минимальное число брусков N, при которых коробка утонет.
Максимально возможная сила Архимеда corresponds to полное погружение коробки в воду, т.е. объём вытесненной воды равен объёму внешнего кирпича (куба): V_hull = a^3 = 15 cm × 15 cm × 15 cm = 3375 cm^3. Масса воды, вытесняемая при полном погружении, m_displaced = ρ_w · V_hull = 1 g/cm^3 × 3375 cm^3 = 3375 g.
Вес коробки и брусков должен превысить этот предел, чтобы коробка утонула:
m_k + N · m_block > m_displaced.
Подставим числа: 200 g + N · 450 g > 3375 g.
N · 450 > 3175
N > 3175 / 450 ≈ 7.055...
Минимальное целое число N = 8.
Ответы
- Плотность одного бруска: ρ = 4.5 g/cm^3 (или 4500 кг/м^3).
- Минимальное число брусков, при котором коробка утонет: 8 штук.
Если хотите, могу подставить конкретные численные значения m_w, m_s, c_w, c_s из вашего варианта задачи и показать числовые значения T1 и T2 для Задачи 1.
