Задача №2 (10 баллов) В воде плавает открытая кубическая коробка с площадью основания S = 225 см², внутри которой находится брусок объёмом V = 100 см³. Когда брусок достали из…
Задача №2 (10 баллов) В воде плавает открытая кубическая коробка с площадью основания S = 225 см², внутри которой находится брусок объёмом V = 100 см³. Когда брусок достали из коробки, она приподнялась в воде на h = 2 . Определите плотность бруска ри минимальное количество брусков N, которое должно лежать в коробке, чтобы она утонула. Масса коробки mк = 200 г. Плотность воды = 1000 кг/м³
Решение задачи (детальное, по шагам)
Дано:
- Площадь основания коробки S = 225 см².
- Кубическая коробка; значит сторона a = sqrt(S) = sqrt(225) = 15 см.
- Объем бруска V = 100 см³.
- Объем воды ρ_w = 1000 кг/м³ = 1 г/см³.
- Масса коробки m_k = 200 г.
- Когда брусок внутри, коробку опускает ниже; после удаления бруска коробка поднимается на h = 2 см.
- Площадь основания и размеры пригодятся для расчета максимального объема погружения: максимальная погруженная часть коробки может быть до всей высоты коробки, то есть до 15 см (ее высота).
Связь между погружением и массой (архимедова плавучесть) Уравнение равновесия для плавучего тела: m_total = ρ_w · S · d, где m_total — масса всего тела (коробка плюс все бруски внутри), d — глубина погружения (расстояние от низа коробки до уровня воды в погружённом состоянии), ρ_w — плотность воды, S — площадь поперечного сечения коробки.
Найдем глубины погружения до удаления бруска (с бруском внутри) и после удаления (без бруска)
- Пусть m_block — масса одного бруска. Тогда масса бруска внутри: m_block, масса коробки без бруска: m_k = 200 г.
- Вода плотность ρ_w = 1 г/см³.
Глубина погружения без бруска (когда коробка свободна): d2 = m_k / (ρ_w · S) = 200 / (1 · 225) = 200/225 ≈ 0.8889 см.
Глубина погружения с одним бруском внутри (до удаления она уменьшается/увеличивается? – при добавлении массы коробка погружается сильнее, т.е. d1 больше d2): d1 = (m_k + m_block) / (ρ_w · S) = (200 + m_block) / 225.
Разность глубин равна h: d1 − d2 = h = 2 см.
Подставим: (200 + m_block)/225 − 200/225 = 2 m_block/225 = 2 m_block = 450 г.
Таким образом, масса одного бруска должна быть 450 г.
Плотность бруска ρ_block = m_block / V = 450 г / 100 см³ = 4.5 г/см³. В СИ: 4.5 г/см³ = 4500 кг/м³.
Минимальное количество брусков N, чтобы коробка утонула Максимальная подъемная сила воды соответствует полному погружению коробки (высота коробки 15 см):
- Максимальный объём погружения внешней коробки: V_sub,max = S · a = 225 см² · 15 см = 3375 см³.
- Максимальная масса воды, которую такая погружённая короба может вытеснить: m_buoy,max = ρ_w · V_sub,max = 1 г/см³ · 3375 см³ = 3375 г.
Чтобы коробка утонула, общая масса должна превысить эту величину: m_k + N · m_block > 3375 г.
Подставляем m_k = 200 г и m_block = 450 г: 200 + 450N > 3375 450N > 3175 N > 3175 / 450 ≈ 7.055...
Минимальное целое N равно 8.
Ответ:
- Плотность бруска ρ_block = 4.5 г/см³ (или 4500 кг/м³).
- Минимальное число брусков, чтобы коробка утонула: N_min = 8.
