Точка N лежит на отрезке AB и делит его в соотношении 1:3. Отрезок NM параллелен некоторой плоскости α и равен 8. Точка B принадлежит этой плоскости. Найдите отрезок BC, если…

Задача решается в трехмерном пространстве, но удобно ввести координаты так, чтобы плоскость α была плоскостью z = 0.

Пусть:

• α: z = 0, B ∈ α → z_B = 0.
• A = (x_A, y_A, z_A).
• N делит отрезок AB в отношении AN:NB = 1:3. Тогда N = (3A + B)/4, и, следовательно, N_z = (3 z_A + z_B)/4 = (3 z_A)/4.
• NM ∥ α и NM = 8. Так как NM ∥ α, вектор M − N параллелен α, значит M_z = N_z. Пусть v = M − N, тогда v_z = 0 и |v| = 8.
• C — точка пересечения прямой AM с плоскостью α (z = 0).

Найдем C. Параметрически AM: A + t(M − A). Задаём z = 0: z_A + t(M_z − z_A) = 0. Так как M_z = N_z = (3 z_A)/4, получаем t = −z_A / ((3 z_A)/4 − z_A) = −z_A / (−z_A/4) = 4. Поэтому C = A + 4(M − A) = 4M − 3A.

Выразим M через N и v: M = N + v, где |v| = 8 и v_z = 0. Из N = (3A + B)/4 имеем 4N = 3A + B, значит C = 4(N + v) − 3A = (4N − 3A) + 4v = B + 4v.

Следовательно, вектор BC = C − B = 4v, и длина BC равна |BC| = 4|v| = 4·|NM| = 4·8 = 32.

Ответ: BC = 32.